Понятие производства и производственных функций. Производственная функция
Производственная функция
Соотношение между вводимыми факторами и итоговым выходом продукции описывается производственной функцией. Она является исходным пунктом в микроэкономических расчетах фирмы, позволяет найти оптимальный вариант использования производственных возможностей.
Производственная функция показывает возможный максимальный выпуск продукции (Q) при определенном сочетании производственных факторов и избранной технологии.
Для каждой технологии производства существует своя особая функция. В наиболее общем виде она записывается:
где Q– объем производства,
K–капитал
M– природные ресурсы
Рис. 1 Производственная функция
Производственная функция характеризуется определенными свойствами :
Существует предел для роста объема производства, который может быть достигнут за счет увеличения объема использования одного фактора при условии, что другие факторы производства не меняются. Данное свойство получило название закона убывающей производительности фактора производства . Он действует в краткосрочном периоде.
Существует определенная взаимодополняемость факторов производства, но без сокращения производства возможна и определенная взаимозаменяемость этих факторов.
Изменения в использовании факторов производства более эластичны на продолжительном отрезке времени, чем за короткий период.
Производственная функция может рассматриваться как однофакторная и многофакторная. Однофакторная полагает, что при прочих равных условиях, изменяется только фактор производства. Многофакторная предполагает изменение всех факторов производства.
Для краткосрочного периода используется однофакторная, а для долгосрочного – многофакторная.
Краткосрочный период – это такой период, в течение которого хотя бы один фактор остаётся неизменным.
Долгосрочный период – это период времени, в течение которого все факторы производства изменяются.
При анализе производства используются такие понятия как общий продукт (ТР) – объём товаров и услуг, произведенных за определённый период времени.
Средний продукт (АР) характеризует количество продукции, приходящейся на единицу используемого фактора производства.Он характеризует производительность фактора производства и рассчитывается по формуле:
Предельный продукт (МР) - дополнительная продукция, произведенная дополнительной единицей фактора производства. МРхарактеризует производительность дополнительно нанятой единицы фактора производства.
Таблица 1 - Результаты производства в краткосрочном периоде
|
Затраты капитала (К) |
Затраты труда (L) |
Объем производства (ТР) |
Средний продукт труда (АР) |
Предельный продукт труда (МР) |
Анализ данных таблицы 1 позволяет выявить ряд закономерностей поведения общего, среднего и предельного продукта. В точке максимума общего продукта (ТР) предельный продукт (МР) равен 0. Если при росте объема используемого в производстве труда предельный продукт труда больше среднего, то значение среднего продукта растет и это свидетельствует о том, что отношение труда к капиталу далеко от оптимального и часть оборудования не используется в силу нехватки труда. Если при росте объема труда предельный продукт труда меньше среднего продукта, то средний продукт труда будет уменьшаться.
Закон замещения факторов производства.
Равновесное положение фирмы
Один и тот же максимальный объем производства фирмы можно обеспечить за счет разного сочетания факторов производства. Это обусловлено способностью одного ресурса вытесняться другим без ущерба для результатов производства. Такая способность называется взаимозаменяемостью факторов производства.
Так, если объемы ресурса труда увеличиваются, то использование капитала может уменьшаться. В этом случае мы прибегаем к трудоемкому варианту производства. Если, напротив, возрастает объем используемого капитала, а труд вытесняется, то речь идет о капиталоемком варианте производства. Скажем, вино можно произвести трудоемким ручным способом или капиталоемким способом с применением машинного оборудования для выжимки винограда.
Технология производства фирмы - это способ соединения факторов производства для выпуска продукции, основанный на определенном уровне знаний. По мере развития технологий фирма в состоянии получить такой же или больший объем выпуска при неизменном наборе производственных факторов.
Количественное соотношение взаимозаменяемых факторов позволяет оценить коэффициент, называемый предельной технологической нормой замещения (MRTS ).
Предельная норма технологического замещения труда капиталом представляет собой величину, на которую можно сократить капитал за счет использования дополнительной единицы труда без изменения объема выпуска. Математически это можно выразить так:
MRTS LK = - dK / dL = - ΔK / ΔL
где ΔK - изменение величины используемого капитала;
ΔL изменение трудозатрат на одну единицу продукции.
Рассмотрим вариант расчетов производственной функции и замещения факторов производства для гипотетической фирмы X.
Предположим, что данная фирма может изменять объемы производственных факторов, труд и капитал от 1 до 5 единиц. Изменения объемов выпуска, связанные с этим, могут быть представлены в виде таблицы, которая носит название «Производственная сетка» (табл. 2).
Таблица 2
Производственная сетка фирмы Х
|
Затраты капитала |
Затраты труда |
||||
Для каждой комбинации основных факторов мы определили максимально возможный выпуск продукции, т. е. значения производственной функции. Обратим внимание на тот факт, что, скажем, объем выпуска в 75 единиц достигается при четырех различных комбинациях труда и капитала, объем в 90 единиц - при трех комбинациях, 100 - при двух и т. д.
Представив производственную сетку графически, мы получим кривые, которые являются еще одним вариантом модели производственной функции, ранее зафиксированной в виде алгебраической формулы. Для этого мы соединим точки, которые соответствуют сочетаниям труда и капитала, позволяющим получить один и тот же объем выпуска (рис. 1).
K
Рис. 1. Карта изоквант.
Созданная графическая модель называется изоквантной. Набор изоквант - картой изоквант.
Итак, изокванта - это кривая, каждая точка которой соответствует сочетаниям производственных факторов, обеспечивающим определенный максимальный объем выпуска продукции фирмы.
Для того чтобы получить один и тот же объем выпуска, мы можем сочетать факторы, двигаясь в поиске вариантов вдоль изокванты. Движение по изокванте вверх означает, что фирма отдает предпочтение капиталоемкому производству, увеличивая количество станков, мощность электродвигателей, число компьютеров и т. п. Движение вниз отражает предпочтение фирмы в пользу трудоемкого производства.
Выбор фирмы в пользу трудоемкого или капиталоемкого варианта производственного процесса зависит от условий предпринимательства: общей суммы денежного капитала, которым располагает фирма, соотношения цен на факторы производства, производительности факторов и так далее.
Если D - денежный капитал;Р K - цена на капитал;Р L - цена на труд, то количество факторов, которое может приобрести фирма, полностью расходовав денежный капитал,К – количество капитала,L – количество труда, будет определяться формулой:
D = P K K + P L L
Это уравнение прямой, все точки которой соответствуют полному использованию денежного капитала фирмы. Такая кривая называется изокостой или бюджетной линией.
K
A
Рис. 2. Равновесие производителя.
На рис. 2 мы совместили линию бюджетного ограничения фирмы, изокосту (АВ) с картой изоквант, т. е. набором альтернатив производственной функции (Q 1 ,Q 2 ,Q 3), чтобы показать точку равновесия производителя(Е).
Равновесие производителя - это такое положение фирмы, для которого характерно полное использование денежного капитала и при этом достижение максимально возможного для данного количества ресурсов объема выпуска.
В точке Е изокванта и изокоста имеют равный угол наклона, величину которого определяет показатель предельной нормы технологического замещения(MRTS ).
Динамика показателя MRTS (он возрастает при движении вверх вдоль изокванты) показывает, что существуют пределы взаимозамещения факторов, связанные с тем, что эффективность использования производственных факторов ограничена. Чем большее количество труда используется для вытеснения капитала из производственного процесса, тем меньше производительность труда. Аналогичным образом замещение труда все большим количеством капитала снижает отдачу последнего.
Производство требует сбалансированного сочетания обоих производственных факторов для наилучшего их использования. Предпринимательская фирма готова заменить один фактор на другой при условии выигрыша или, по меньшей мере, равенства потери и выигрыша в производительности.
Но на рынке факторов важно учитывать не только их производительность, но и цены на них.
Наилучший вариант использования денежного капитала фирмы, или положение равновесия производителя, подчиняется следующему критерию: положение равновесия производителя достигается, когда предельная норма технологического замещения факторов производства равна соотношению цен на эти факторы. Алгебраически это можно выразить так:
- P L / P K = - dK / dL = MRTS
где P L , P K - цены на труд и капитал;dK , dL - изменение количества капитала и труда;MTRS - предельная норма технологического замещения.
Анализ технологических аспектов производства фирмы, максимизирующей прибыль, представляет интерес лишь с точки зрения достижения наилучших конечных результатов, т. е. продукта. Ведь вложения в ресурсы для предпринимателя являются только издержками, которые необходимо нести, чтобы получить продукт, реализуемый на рынке и приносящий доход. Затраты приходится сопоставлять с результатом. Показатели результата, или продукта, приобретают поэтому особое значение.
Зависимость количества производимых товаров от соответствующих факторов производства, с помощью которых она изготавливается. Рассмотрим это понятие более подробно.
Производственная функция всегда имеет конкретный вид, так как она предназначена для определенной технологии. Внедрение новых технологических разработок влечет за собой изменение или создание нового вида зависимости.
Данная функция используется для поиска оптимального (минимального) количества затрат, которые необходимы для изготовления определенного количества товаров. Для всех производственных функций, в независимости от того, какой они выражают, характерны такие общие свойства:
Рост объема производимых товаров за счет только одного фактора (ресурса) имеет конечный предел (в одном помещении может нормально работать только определенное число рабочих, поскольку количество мест ограничено площадью);
Факторы производства могут быть взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми (работники и инструменты).
В самом общем виде производственная функция выглядит так:
Q = f (K, L, M, T, N), в этой формуле
Q — объем произведенных товаров;
K — оборудование (капитал);
М — затраты на материалы и сырье;
Т — используемые технологии;
N — предпринимательские способности.
Виды производственных функций
Существует множество типов этой зависимости, которые учитывают влияние как одного, так и нескольких наиболее важных факторов. Однако наибольшую известность получили два основных вида производственной функции: двухфакторная модель вида Q = f (L; K) и функция Кобба-Дугласа.
Двухфакторная модель Q = f (L; K)
Эта модель рассматривает зависимость объема производства (Q) от (L) и капитала (L). Довольно часто для анализа этой модели используется группа изоквант. Изокванта - это такая кривая, которая соединяет все возможные точки сочетаний позволяющих выпускать конкретный объем товаров. На оси X обычно отмечают затраты труда, а на оси Y - капитала. На одном и том же графике рисуют несколько изоквант, каждая из которых соответствует определенному объему продукции при использовании конкретной технологии. В итоге получается карта изоквант с разными количествами изготавливаемых товаров. Она и будет являться производственной функцией для данного предприятия.
Для изоквант характерны следующие общие свойства:
Вогнутый и нисходящий вид изокванты связан с тем, что уменьшение использования капитала при стабильном объеме выпускаемых товаров вызывает рост затрат труда;
Вогнутая форма кривой изокванты зависит от предельно допустимой нормы технологического замещения (то количество капитала, которое может заменить 1 дополнительная единица труда).
Функция Кобба-Дугласа
Эта производственная функция, названная в честь двух американских первооткрывателей, где общий объем выпущенной продукции Y находится в зависимости от используемых в процессе производства ресурсов, например, труда L и капитала К. Ее формула:
где α и b - это константы (α>0 и b>0);
K и L - соответственно капитал и труд.
Если сумма констант α и b равна единице, то принято считать, что у такой функции присутствует постоянный производства. Если параметры К и L умножаются на какой-либо коэффициент, то Y также нужно умножить на этот же коэффициент.
Модель Кобба-Дугласа вполне можно применить для какой-либо отдельной фирмы. В этом случае α - это доля общих затрат идущая на капитал, а β - доля, идущая на труд. Модели Кобба-Дугласа также могут содержать более двух переменных. К примеру, если N - это то производственная функция приобретает вид Y=AKαLβNγ, где γ - константа (γ>0), а α + β +γ = 1.
№ 1 . Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией:
а) общего выпуска;
2. Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед. труда .
Решение
1а. Функция от одной переменной достигает максимума, когда ее производная равна нулю. С учетом того, что L > 0, получаем:
1б. Предельная производительность труда
достигает максимума при 10 = 3L Þ L = 10/3.
1в. Средняя производительность труда
достигает максимума при L = 5.
2. По определению 
. При L
= 5 средняя и предельная производительности равны 62,5; следовательно, 1.
№ 2 Q = L 0,75 K w = 144; r = 3.
Решение
а) 
. Условие равновесия фирмы MRTS L , K
= w/r
.
.
Следовательно: 
.
№ 3 . Технология производства фирмы задана производственной функцией: Q = 20L 0,5 . Цена труда w = 2, а цена продукции фирмы Р = 5.
Определите :
а) выпуск фирмы;
б) общие затраты на выпуск;
в) средние затраты;
г) предельные затраты;
д) объем спроса фирмы на труд.
Решение
а) В соответствии с технологией . Поэтому и .
По условию максимизации прибыли
б) TC = 500 2 /200 = 1250; в) AC = 1250/500 = 2,5;
г) MC = 500/100 = 5; д) L = 500 2 /400 = 625.
№ 4 . Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L 0,25 K 0,25 . Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 2; r = 8 и продает свою продукцию по цене Р = 320.
Определите :
а) выпуск фирмы;
б) общие затраты на выпуск;
в) средние затраты;
г) предельные затраты;
д) объем спроса фирмы на труд;
е) объем спроса фирмы на капитал;
ж) прибыль фирмы;
з) излишки продавца.
Решение
А) Условие равновесия фирмы:
.
В соответствии с технологией: . Следовательно,
.
Тогда . Из условия максимизации прибыли следует ;
б) LTC = 8×20 2 = 3200; в) LAC = 3200/20 = 160;
г) LMC = 16×20 = 320; д) L = 2×400 = 800;
е) K = 0,5×400 = 200; ж) 20×320 - 3200 = 3200;
з) 0,5.20.320 = 3200.
№ 5. Предприятие работает по технологии, описываемой производственной функцией: Q = L α K β , бюджетное ограничение имеет вид: C(Q) = wL + rK. Найти оптимум производителя (минимизация затрат в длительном периоде) методом Лагранжа .
Решение :
1. Функция Лагранжа имеет вид :
Ф = wL + rK + μ(Q - L α K β), где μ - множитель Лагранжа, переменная.
2. Продифференцировать функция Лагранжа по L, K, μ:
Последнее уравнение представляет собой производственное ограничение.
3. Решить уравнения для L, K и μ . В результате получаем :
№ 6 . Фирма с функцией общих затрат
может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20 .
1. Определите выпуск фирмы:
а) минимизирующий средние затраты;
б) максимизирующий прибыль.
2. Рассчитайте максимальную величину:
а) прибыли;
б) излишка производителя.
3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она получает максимум прибыли.
Решение
2а. p = 20×3 - 8 - 8×3 - 2×9 = 10.
2б. D = 20×3 - 8×3 - 2×9 = 18.
№ 7 . При цене 8 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 10 кг яблок. Эластичность предложения по цене равна 1,6. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 12 ден. ед?
Решение
Общий вид линейной функции предложения: Q S = m + nP . Для нее e S = nP*/Q* Þ n = e S Q*/P*; m = Q*(1 - e S).
В условиях задачи n = 2; m = 6; следовательно, функция предложения имеет вид:
Q S = -6 + 2P ; при цене 12 объем предложения равен 18.
№ 8 . На рынке имеются три продавца со следующими функциями предложения:
Определите эластичность рыночного предложения по цене, когда на рынке продается 11 ед. товара.
Решение
Для определения интервалов цен, соответствующих различным наклонам кривой рыночного предложения, перейдем от индивидуальных функций предложения к индивидуальным функциям цены предложения:
Следовательно, в интервале 0 < P £ 4 рыночное предложение представлено продавцом I; в интервале 4 < P £ 8 рыночное предложение равно сумме предложения I и III продавцов, и только после P > 8 рыночное предложение равно сумме всех трех продавцов:
Отсюда видно, что 11 ед. товара будет продано по цене Р = 5; тогда e S = 3×5/11 = 15/11.
Рис. 2.1. Рыночное предложение как сумма индивидуальных предложений
Вопросы для обсуждения
1. Какую конфигурацию могут иметь изокванты? Приведите примеры взаимозаменяемых и взаимодополняемых ресурсов в практических ситуациях. Какое значение при этом может иметь показатель предельной нормы технической замены?
2. Как согласуются между собой показатели общего выпуска, предельной производительности и средней производительности фактора производства? В каких случаях фирма (отрасль) может преследовать цели максимизации каждого из перечисленных показателей?
3. Проанализируйте разницу между убывающей отдачей от масштаба и убывающей предельной производительностью фактора. Приведите примеры рассматриваемых процессов. Может ли специализация (разделение труда) привести к положительному эффекту масштаба?
4. Что представляет собой эластичность выпуска от переменных факторов производства? Как данные показатели согласуются с эластичностью выпуска от масштаба для производственной функции Кобба-Дугласа ?
5. Может ли функция предельной производительности труда демонстрировать возрастающий характер? Приведите практические примеры.
6. Как трактуется понятие технический прогресс в теории микроэкономики? Какими допущениями теории это обусловлено? В чем основные недостатки такой трактовки?
7. Проанализируйте понятия «затраты», «издержки», «стоимость». Каковы, на Ваш взгляд, различия между данными понятиями и можем ли мы с точки зрения микроэкономики использовать какие-то из них в качестве синонимов?
8. Какие затраты могут быть отнесены к постоянным для целлюлозно-бумажного комбината, фермы по разведению карпов, фирмы, осуществляющей грузовые перевозки, газетного киоска, интернет-магазина. Какой временной промежуток может составлять короткий период для перечисленных фирм?
9. Почему функции затрат короткого периода всегда располагаются выше функции затрат длительного периода? Всегда ли огибающая снизу функция LATC касается соответствующей функции SATC в точке минимума последней?
10. Как согласуется эластичность предложения по цене с различными параметрами рыночной конъюнктуры и особенностями товара? Обоснованно предположите уровень коэффициента эластичности предложения для следующих категорий товаров: мороженое, елочные игрушки, старинные монеты, меховые шапки из норки, лак для волос Taft, малолитражные автомобили, ядерные ракетоносцы?
Задачи
№1№. Заполните пропуски в следующей таблице:
1. изобразите линии общего выпуска, предельного и среднего продуктов труда;
2. объясните, почему полученные линии имеют такие конфигурации;
3. всегда ли равенство среднего и предельного продуктов переменного фактора указывает на максимальное значение среднего продукта? Почему?
4. выделите на графике три стадии производства;
5. всегда ли предельный продукт положителен? Почему?
6. найдите значение эластичности выпуска по труду при L = 5.
№2. Заполните пропуски в следующей таблице:
Найти значение предельного продукта 7-й единицы фактора
Найти значение общего выпуска при L = 5.
№5 . Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией
1. При каком количестве используемого труда достигается максимум:
а) общего выпуска;
б) предельной производительности (предельного продукта) труда;
в) средней производительности (среднего продукта) труда.
2. Найдите максимальные значения общего выпуска, предельного и среднего продуктов труда;
3. Изобразите линии общего выпуска, предельного и среднего продуктов труда;
4. объясните, почему полученные линии имеют такие конфигурации;
5. всегда ли равенство среднего и предельного продуктов переменного фактора указывает на максимальное значение среднего продукта? Почему?
6. выделите на графике три стадии производства;
7. всегда ли предельный продукт положителен? Почему?
8. Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед. труда.
№6 . Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией: . Определите максимум: а) общего выпуска; б) предельной производительности труда; в) средней производительности труда.
№7 . Фирма работает по технологии, отображаемой производствен-ной функцией Q = 10L 0,75 K 0,25 . Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 24; r = 8.
Определите в состоянии равновесия фирмы:
а) среднюю производительность труда (продукт труда);
б) среднюю производительность капитала (продукт капитала);
в) предельную производительность труда;
г) предельную производительность капитала.
№8 . Фирма работает по технологии, отображаемой производствен-ной функцией Q = 10L 0,75 K 0,25 . Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 5; r = 1. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.
№9.
Q = 2L 2/3 × K 1/3 ,
где Q - объем производства, L K
1. Каков экономический смысл показателей степеней при переменных L и К?
2. Найдите алгебраическое выражение для изокванты при Q = 4. Нарисуйте эту изокванту.
3. Объясните взаимосвязь между конфигурацией изокванты и значениями показателей степеней; что произойдет с изоквантой, если показатели степеней станут равны?
4. Допустим, ставка арендной платы за оборудование (r) вдвое выше ставки оплаты труда (w). Предприятие использует две единицы оборудования и две единицы труда. Может ли предприятие, изменив комбинацию используемых ресурсов, уменьшить затраты, не уменьшая выпуск продукции? Ответ представьте графически и алгебраически.
5. Какое значение имеют цены факторов и показатели степеней в производственной функции при оптимизации предприятия-производителя.
№10. Процесс производства на некотором предприятии описывается производственной функцией:
Q = 3L 1/3 × K 2/3 ,
где L - объем используемых трудовых ресурсов; K - объем используемого оборудования.
1. Найдите алгебраическое выражение для изокванты при Q = 6 . Нарисуйте эту изокванту.
2. Ставка арендной платы за оборудование вдвое выше ставки оплаты труда. Предприятие использует две единицы оборудования и две единицы труда.
3. Может ли предприятие, изменив комбинацию используемых ресурсов, уменьшить затраты, не сокращая выпуск?
4. Почему для предприятия так важно достижение оптимума в производстве?
5. Какие последствия грозят предприятию, если оно не достигает оптимума в производстве?
№11. Предприятие производит объем продукции Q , используя такие объемы ресурсов, при которых предельный продукт оборудования превышает предельный продукт труда в 2 раза. Ставка оплаты за аренду единицы оборудования превышает ставку оплаты труда в 3 раза.
Может ли предприятие уменьшить затраты, не сокращая объема выпуска? Если да, то в каком направлении следует изменить соотношение между объемами используемого оборудования и труда? Поясните ответ с помощью изокванты и изокосты.
№12. Используя изображенный ниже рисунок, ответьте на следующие вопросы:
1. Какова предельная норма технической замены в точке A ?
2. Если в точке B w = 4, r = 6 и фирма, находясь в этой точке, применяет 50 единиц капитала и 30 единиц труда, какова величина средних затрат для производства 100 единиц продукции?
3. Отражают ли точки C и D комбинацию факторов производства, которые используются для определения долгосрочных средних затрат при установлении цены на 80 единиц продукции? Объясните;
4. Что общего между точками С и D и чем они различаются?
5. О чем говорит конфигурация изоквант, представленных на рисунке?
6. Как изменилась бы конфигурация изоквант, если бы факторы характеризовались бы абсолютной заменяемостью? Дополняемостью? Приведите примеры подобных производств.
№13. Производственная функция фирмы имеет вид: Q = . Пусть уровень выпуска равен 50 ед.
Какой будет оптимальная комбинация ресурсов K и L, если ставка зарплаты (w) равна 10 ден. ед., а ставка арендной платы за оборудование (r) равна 5 ден. ед.
№14 . Фирма работает по технологии, отображаемой производствен-ной функцией Q = L 1/4 K 1/4 . Цена труда - 4 ден. ед., а цена капитала - 16 ден. ед. Сколько капитала будет использовать фирма при выпуске 20 ед. продукции?
№15 . Фирма работает по технологии, отображаемой производствен-ной функцией Q = L 0,75 K 0,25 . Цена труда - 15ден. ед., а цена капитала - 5 ден. ед. Сколько труда будет использовать фирма при выпуске 75 ед. продукции?
№16 . Фирма работает по технологии, отображаемой производствен-ной функцией Q = L 0,6 K 0,4 . Цена труда - 9 ден ед., а цена капитала - 3 ден ед.
Какова будет капиталовооруженность труда на этой фирме?
№17. Бюджет фирмы равен 200 ден. ед. Она работает по технологии, соответствующей производственной функции Q = L × K , при ценах на факторы: w = 2; r = 4 .
а) При каких значениях L и K
б) Как изменится капиталовооруженность труда на фирме, если при той же цене труда цена капитала возрастет в 1,5 раза?
№18. Фирма может потратить на производство товара 900 ден. ед. Чтобы производить продукцию с минимальными средними затратами, фирма использует 120 ед. капитала по цене r = 5 и при этом предельная норма замещения капитала трудом равна - 1,5. Сколько единиц труда нанимает фирма?
№19. Бюджет фирмы равен 300 ден. ед. Она работает по технологии, соответствующей производственной функции Q = L 0,6 K 0,4 , при ценах на факторы: w = 12; r = 18. При каких значениях K и L фирма достигает максимума выпуска?
№20. Пред-по-ло-жим, фирма имеет сле-дую-щие ха-рак-те-ри-стики про-из-вод-ст-вен-ного про-цесса в ко-рот-ком пе-риоде: МР К =12, МР L = 20. Ставка за-ра-бот-ной платы равна 8 ден. ед., а ставка арендной платы - 2 ден. ед. Как надо изменить количество применяемого труда и капитала, чтобы добиться оптимального их сочетания?
№21. Предельная норма технического замещения трудом капитала равна 4. На сколько необходимо сократить использование труда для того, чтобы обеспечить прежний объем производства при увеличении капитала на 8 единиц.
№22. Предположим производственная функция фирмы описывается уравнением Q = L 1/2 ´K. На сколько процентов снизиться Q, если L снизиться на 19%, а К снизиться на 10%.
№23. Производство товара представляет собой такой процесс, при котором труд и капитал используются в соотношении 5 ч. труда на 1 ч. машинного времени. При удвоении факторов объем производства возрастает втрое (с 10 до 30 ед.). Когда факторы производства увеличиваются на половину (с 10 до 15 ч. труда и с 2 до 3 ч. машинного времени), выпуск удваивается (с 30 до 60 ед.) какой эффект масштаба демонстрирует производственная функция?
№24. Предположим, что когда фирма увеличивает применяемый капитал с 120 до 150 ед. и используемый труд с 500 до 625 ед., выпуск продукции увеличится с 200 до 220.
Какая отдача от масштаба производства (возрастающая, убывающая, постоянная) имеет место в данном случае?
№25. Допустим, фирма работает по технологии Q = L 0,6 K 0,4 , при этом уменьшает объемы труда и капитала в два раза. Как изменится объем выпускаемой продукции?
№26. Если процесс производства на фирме характеризуется убывающей отдачей от масштаба при любом объеме производства, что произойдет с прибылью фирмы, если она разделится на два завода, каждый из которых будут производить одинаковый объем продукции?
В самом общем виде производство можно определить как деятельность, направленную на преобразование свободных и экономических ресурсов в продукты и услуги. Традиционно выделяются три основные системы производства - заказное, массовое (гибкое инегибкое) ипоточное производство. Первая система предполагает производство по индивидуальным заказам уникального продукта (атомная электростанция, мост). Массовое производствоопределяется как производство большими или небольшими партиями многих видов изделий из однотипных и стандартизированных комплектующих. Выделяют две разновидности массового производства: негибкое и гибкое. Суть негибкого массового производства прекрасно отражена в шутливой фразе Генри Форда: «Потребитель может пожелать машину любого цвета, если этот цвет черный». Гибкое массовое производство предполагает множество комбинаций стандартных комплектующих. Поточноепроизводствохарактеризуется непрерывным потреблением сырья и непрерывным потоком продукции (предприятия химической промышленности, молокоперерабатывающие предприятия).
Способ соединения ресурсов для производства запланированного объема товаров называется технологией производства . Критерием выбора той или иной технологии является эффективность производства. Принято различать экономическую итехнологическуюэффективность производства. Технологическая эффективностьхарактеризует зависимость между используемыми ресурсами и получаемой продукцией в натуральном выражении. Технологическая эффективность конкретного способа производства оценивается двояко: по максимуму выпуска при данной комбинации ресурсов; по минимуму количества ресурсов, обеспечивающих данный объем выпуска.
Экономическая эффективность характеризует стоимостную зависимость между расходами фирмы на оплату факторов производства (издержками) и доходами фирмы (выручкой). Способ производства является экономически эффективным, если он обеспечивает минимальную альтернативную стоимость используемых в производстве ресурсов, то есть экономическая прибыль равна нулю или положительная величина. Выбор фирмой экономически эффективной технологии зависит от сложившихся на данный момент цен на ресурсных рынках. Изменение цен на ресурсы и/или на продукцию фирмы может сделать ранее выбранный способ производства экономически неэффективным.
Технологическая зависимость между количеством ресурсов, затрачиваемых фирмой в единицу времени, и максимально возможным объемом выпускаемой продукции называют производственной функцией:
Рассмотрим следующий пример: на одной фирме из тонны металла делают 730 изделий, на другой – 800 изделий. Как будет выглядеть производственная функция?
Производственная функция, подобно любой другой функции, может быть записана в виде таблицы, уравнения или представлена графиком. Разработано много функций производства, но чаще всего это двухфакторные функции, которые имеют графическое представление. Среди двухфакторных функций наибольшую известность получила функция Кобба-Дугласа:
Все ресурсы, используемые фирмой в процессе производства, условно разделяют на условно-постоянные и переменные. Ресурсы, количество которых не зависит от объема выпуска, является неизменным, относятся к условно-постоянным. Это арендная плата, охрана и отопление. Ресурсы, количество которых связано прямой пропорциональной связью с объемом выпуска, называются переменными. Это электроэнергия, сырьё, труд.
Деление факторов производства на условно-постоянные и переменные позволяет выделить краткосрочный и долгосрочный периоды в деятельности фирмы. Период, в течение которого фирма в состоянии изменить лишь часть ресурсов (переменные), а другая часть остается неизменной (постоянные), называется краткосрочным. Продолжительность рассматриваемых периодов может существенно варьироваться в зависимости от отрасли.
Вопрос 38 . Краткосрочный период производства: убывающая отдача
Для анализа производства в краткосрочном периоде рассмотрим краткосрочную функцию производства, предполагающую наличие у фирмы условно-постоянных (K) и переменных ресурсов (L): Q = f(K,L). Для упрощения анализа предположим, что фирма использует всего два ресурса: труд L и капитал К. Целью анализа организации производства является нахождение оптимальной пропорции между ресурсами, что в краткосрочном периоде реализуется в виде ответа на вопрос: сколько следует приобрести переменного ресурса при известном количестве условно-постоянного ресурса?
В ведем новые понятия: совокупный, средний и предельный продукты.
♦ совокупный продукт (total product, TP) - общий объем произведенных фирмой товаров и услуг за единицу времени;
♦ средний продукт (average product, АР) - совокупный продукт на единицу использованного ресурса. Различают средний продукт по переменному ресурсу AP L = TP/L и средний продукт по постоянному фактору АР К = ТР/К;
♦ предельный продукт (marginal product, MP) - величина прироста совокупного продукта при изменении используемого ресурса на единицу. Помним, что в краткосрочном периоде изменяться может лишь труд.
Предельный продукт труда, MP L рассчитывается по двум возможным формулам. Если производственная функция неизвестна, то рассчитывают дискретный предельный продукт труда: MP L = ∆Q / ∆L.
Если же производственная функция известна, то рассчитывают непрерывный предельный продукт труда: MP L = dQ/dL=Q"(L).
Приведем способ расчета базовых производственных показателей для цеха, в котором установлены 5 станков (табл. 5.1).
5.1. Расчет среднего и предельного продуктов переменного ресурса
| L, человек | TP, тыс. штук | AP L , тыс. штук | MP L , тыс. штук |
| -5 | |||
| -42 |
Представим полученные результаты графически (рис. 5.1). Как видим, производственный процесс, отраженный в производственной функции, проходит три этапа: возрастающей, убывающей и отрицательной отдачи. Из графика видно, что совокупный продукт достигает максимума при таких затратах переменного ресурса, когда предельный продукт равен нулю. Закон убывающей отдачи гласит, что начиная с некоторого момента дополнительное использование переменного ресурса при неизменном количестве постоянного ресурса ведет к сокращению его предельной отдачи, или предельного продукта. Этот закон носит универсальный характер. Его самый знаменитый пример – это закон убывающего плодородия, который совместно с законом народонаселения Томаса Мальтуса дал основание называть в XIX веке политэкономию «мрачной наукой».
Сформулируйте причину, в силу которой производство на отдельном предприятии никогда не достигает возможного максимума? Сформулируйте правило, по которому предприятие определяет количество затраченного переменного ресурса и, соответственно, пропорцию между условно-постоянным и переменным ресурсами, а также объем выпуска продукции? Предположим, что зарплата 1 работника 20 тысяч рублей, а цена единицы продукции (за минусом стоимости материалов) 1 рубль. Тогда цена труда 1 работника, выраженная в единицах продукции, составит 20 тысяч штук. Поэтому 7-го работника руководитель фирмы нанимать не должен.
Вопрос 39.Долгосрочный период производства: изокоста и изокванта
В долгосрочном периоде все факторы производства являются переменными. Чтобы определить, какая из доступных технологий будет экономически эффективной, рассмотрим модель изокванты и изокосты.
Изоквантапоказывает совокупность всех комбинаций факторов производства, обеспечивающих заданный объем выпуска. Если отложить по горизонтальной оси единицы труда, по вертикальной – единицы капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится линия изокванты (IQ, «изо» - равный, «кванта» - количество). Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант. Угол наклона линии изокванты характеризуется коэффициентом предельной нормы технологического замещения(Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS).
MRTS капитала по труду показывает, сколько единиц капитала необходимо для замещения выбытия единицы труда или сколько единиц капитала можно сэкономить при увеличении затрат труда на единицу, чтобы объем выпуска не изменился: MRTS L K = dK/dL=K"(L ). На рисунке 5.3 это соответствует изображению труда по оси абсцисс (независимая переменная), а капитала – на оси ординат (зависимая переменная). Сокращение выпуска в результате уменьшения затрат капитала (ΔК= К 2 - К 1) компенсирует увеличение выпуска за счет дополнительного количества труда (ΔL = L 2 - L 1) , так что в итоге выпуск не меняется.
Если поменять расположение ресурсов на осях, то соответственно можно будет рассчитать MRTS труда по капиталу: MRTS K L = dL /dK = L"(K ).
Задача. Производственный процесс характеризуется функцией Q = 10KL. На производстве занято 5 чел. Требуется оценить норму замещения одного работника дополнительным количеством оборудования так, чтобы объем выпуска сохранился на уровне Q = 500 ед. продукции в день.
Решение. Q = 10*K*L = 500
K = 500/L = 50*L -1
MRTS L K = K"(L) = (50*L -1)" = -50* L -2
При L = 5, MRTS L K = -50/25 = -2.
Экономический смыслполученного коэффициента: для сохранения объема производства сокращение рабочих на единицу должно быть компенсировано увеличением объема использованного оборудования (капитала) на 2 единицы и, наоборот, рост числа рабочих на единицу позволяет уменьшить количество капитала на 2 единицы.
Задача (продолжение). Если фирма последовательно увеличивает число занятых на производстве работников, то это сопровождается сокращением абсолютной величины предельной нормы замещения:
при L = 6 чел. MRTS L K = –50/36 = –1,39;
при L = 7 чел. MRTS L K = –50/49 = –1,02;
при L = 10 чел. MRTS L K = –50/100 = –0,5.
При перемещении вниз по кривой абсолютное значение MRTS L K убывает, так как равные дополнительные порции труда позволяют экономить всё уменьшающиеся порции оборудования (рисунок 5.3). В дальнейшем MRTS достигает нулевого значения, а изокванта приобретает горизонтальный вид.
Наличия карты изоквант, однако, недостаточно для ответа на вопрос, какой набор труда и капитала оптимальный, поскольку неизвестны цены ресурсов. Карта изоквантсодержит совокупность технологически возможных комбинаций ресурсов, обеспечивающих фирме соответствующие объемы выпуска. Однако при выборе оптимальной комбинации ресурсов производитель должен учитывать не только доступную ему технологию, но и свои финансовые ресурсы, а также цены на факторы производства.
Совокупность двух последних факторов определяет область доступных производителю экономических ресурсов. Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства: Р К К + P L L < ТС,
где Р к, P L - цена капитала и труда; К, L - количество капитала и труда;
ТС (total cost) – совокупные расходы фирмы на приобретение ресурсов.
Если производитель полностью расходует свои средства, то мы получаем уравнение изокосты: P k K + P L L = TC или K = TC/P k – (P L /Pk)*L. Из курса математики известно, что уравнение прямой линии: y=a+bx, где коэффициент b характеризует угол наклона прямой линии. Соответственно, угол наклона иозосты количественно характеризуется как «– P L /Pk».
Линия изокосты (рис. 5.5) содержит набор комбинаций экономических ресурсов, которые фирма может приобрести с учетом рыночных цен на ресурсы и при полном использовании своего бюджета.
Оптимальная комбинация ресурсов, обеспечивающая минимимальный уровень совокупных издержек, лежит в точке касания изокосты и изокванты и предполагает выполнение двух условий (рис. 5.6). Во-первых, полное использование финансовых средств, а во-вторых, их распределение между ресурсами, при котором предельная норма технологического замещения одного ресурса другим равнялась бы отношению их цен: MRTS L K = –P L /P K .
MRTS определяет возможность технологического замещения капитала трудом. Отношение цен отражает экономическую способность производителя замещать капитал трудом. Пока эти возможности не сравняются, изменения в соотношении используемых ресурсов будут вести к увеличению объемов выпуска или к уменьшению совокупных издержек фирмы. Условие минимизации издержек выглядит: MP L /P L = MP K /P K . Фирма должна распределить средства так, чтобы получить одинаковый прибавочный продукт на рубль, затраченный на приобретение каждого ресурса.
Совокупность точек оптимума производителя, построенных для изменяющегося объема производства дает траекторию долгосрочного развития фирмы (рис. 5.7).
Форма траектории развития позволяет выделить капиталоемкие, трудоемкие, а также смешанные технологии. К какой технологии относится траектория развития на рисунке 5.7? Как будут выглядеть траектории долгосрочного развития для других типов технологий?
- Производственная функция.
- Изокванта и предельная норма технологического замещения.
- Производственная функция Кобба-Дугласа.
- Равновесие производителя. Изокоста. Линейная модель производства.
1. Производственная функция.
Производственная функция является важнейшим понятием в теории производителя и представляет собой зависимость объема производства (выпуска) продукта от затрат (расходов) ресурсов. При моделировании поведения производителя с помощью производственной функции делают ряд упрощающих предположений.
1. Производится один продукт, объем его производства обозначают Р (от англ. product – продукт).
2. В случае одного ресурса считают, что этим ресурсом является труд. Затраты труда обозначают L (от англ. labour - труд).
3. В случае нескольких ресурсов считают, что последовательность их использования в производстве не влияет на величину выпуска продукта. В случае двух ресурсов считают, что это труд и капитал. Затраты капитала обозначают К.
4. Если затраты ресурса выражаются целым числом, то его называют неделимым (рабочий, станок). Если труд и капитал неделимым, то производственную функцию называют дискретной и обозначают P ij , где I - затраты труда, j - затраты капитала.
5. Если затраты ресурса выражаются любым дробным числом, то его называют делимым (рабочее время, время работы оборудования). Если труд и капитал делимы, то производственную функцию называют непрерывной и обозначают P (L; K).
6. Непрерывная производственная функция дифференцируема по всем своим аргументам, т.е. она имеет частные производные. Это условие позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления при исследовании поведения производителя.
7. Используемые ресурсы в той или иной степени способны замещать друг друга в производстве. Это значит, что сокращение затрат одного ресурса можно компенсировать увеличением затрат другого ресурса таким образом, что выпуск продукта останется неизменным.
8. Цель производителя состоит в максимизации выпуска при данных затратах.
Предельный продукт (предельная производительность) труда есть прирост выпуска продукта при увеличении затрат труда на единицу - MP L . Аналогично определяется предельный продукт капитала - MP К.
С увеличением расхода ресурса предельный продукт сначала возрастает, а затем убывает. Снижение предельного продукта переменного ресурса получило название закона убывающей производительности.
Теоретически предельный продукт может быть отрицательным. Например, если в небольшом ресторане уже работают 100 официантов, то еще один будет только мешать им и число обслуживаемых за день клиентов уменьшится.
Если труд неделим, то предельный продукт i-й израсходованной единицы труда равен разности объемов выпуска после и до ее использования:
Mp i = P i – P i – 1 .
Если продукт неделим, то предельный продукт труда равен производной производственной функции:
MP L = ∆P / ∆L = P′(L).
Если средний продукт труда максимален, то он равен предельному продукту труда. Это значит, что в ситуации, когда труд используется наиболее эффективно, значения его средней и предельной производительности равны между собой и можно говорить просто о производительности труда.
В случае, когда ресурсы делимы, предельный продукт труда и предельный продукт капитала выражаются соответствующими частными производными производственной функции:
MP L = ∂P / ∂L; MP K = ∂P / ∂K.
Средний продукт труда в этом случае есть отношение выпуска продукта к затратам труда при некотором фиксированном расходе капитала. Аналогично определяется средний продукт капитала. Понятно, что если средний продукт капитала максимален, то он равен предельному продукту капитала.
2. Изокванта и предельная норма технологического замещения.
Изокванта есть изображение на плоскости множества наборов труда и капитала, обеспечивающих одинаковый выпуск продукта. Изокванта есть аналог кривой безразличия в теории потребления, отсюда следуют ее основные свойства:
ñ никакие две изокванты не пересекаются;
Предельная норма технологического замещения трудом капитала есть величина, на которую нужно уменьшить затраты капитала при увеличении затрат труда на единицу, чтобы сохранить выпуск неизменным:
MRTS L , K = - ∆K / ∆L.
Этот показатель характеризует степень взаимозаменяемости труда и капитала в конкретном производстве.
Предельная норма технологического замещения уменьшается с увеличением расхода труда. Она равна отношению предельных продуктов труда и капитала:
MRTS L , K = MP L / MP K .
Она характеризует относительную роль труда и капитала в конкретном производстве. Чем больше этот показатель, тем больше роль труда в производстве.
3. Производственная функция Кобба-Дугласа.
Рассмотрим наиболее известную производственную функцию. Производственная функция Кобба - Дугласа имеет вид:
P = DL α K β ,
где L - затраты труда, К - затраты капитала, D, α и β - положительные константы, которые не превосходят единицу.
Опыт показывает, что производство обычно описывается производственной функцией этого типа.
Основные свойства функции Кобба - Дугласа.
ñ Она является однородной функцией степени α + β. Если α + β равно единице, то имеет место постоянная отдача от масштаба производства. Если α + β меньше единицы, то имеет место убывающая отдача от масштаба производства. Если α + β больше единицы, то имеет место возрастающая отдача.
ñ Предельная норма технологического замещения трудом капитала пропорциональна капиталовооруженности труда:
MRTS L, K = - αK / βL.
ñ В частном случае, когда α + β равно единице, предельные продукты труда зависят от капиталовооруженности труда. Так:
MP L = Dα(K / L) 1 – α .
ñ Эластичность производственной функции по труду равна α, эластичность по капиталу равна β:
E L = (∆P / P) / (∆L / L) = α; EK = (∆P / P) / (∆K / K) = β.
Это значит, что при увеличении затрат труда на 1% при неизменных затратах капитала выпуск увеличится на α%, а при увеличении затрат капитала на 1% при неизменных затратах труда он увеличится на β%. Отсюда следует, что коэффициент α характеризует «роль» труда в производстве, а коэффициент β - «роль» капитала в производстве.
4. Равновесие производителя. Изокоста. Линейная модель производства.
Равновесный (оптимальный) объем производства - это выпуск продукта, который обеспечивает максимальную прибыль. В случае одного продукта и одного ресурса (труда), когда труд делим, условие равновесия производителя состоит в равенстве стоимости предельного продукта и его цены:
рМР(L) = w.
Т.е. в состоянии равновесия заработная плата рабочих равна стоимости предельного продукта труда.
Равновесие в случае одного продукта и двух ресурсов (труда и капитала). Предположим, что предприятие может приобрести ресурсы на сумму С. Цену труда (ставку заработной платы) обозначим w, а цену капитала (цену одного часа работы оборудования) - r. Предположим также, что все выделенные средства предприятие тратит полностью на покупку ресурсов. Тогда сумма его затрат на труд и капитал равна величине издержек:
wL + rK = C,
где L - затраты труда, К - затраты капитала.
Данное равенство называют бюджетным ограничением производителя. Изокоста есть изображение множеств наборов ресурсов, имеющих равную стоимость С. Ее свойства аналогичны свойствам бюджетной линии потребителя:
ñ точка ее пересечения с осью ОХ отвечает максимально возможному расходу труда. Точка пересечения с осью ординат - максимально возможному расходу капитала;
ñ наклон изокосты к осям координат определяется отношением цен труда и капитала;
ñ при увеличении издержек производителя изокоста сдвигается параллельно самой себе от начала координат, а при уменьшении издержек - к началу координат.
Равновесный (оптимальный) объем ресурсов есть набор на изокосте, который обеспечивает максимальный выпуск продукта.
Условия равновесия производителя:
- Отношение цен труда и капитала равно предельной норме технологического замещения:
w/r = MRTS.
- Отношение цен труда и капитала равно соответствующему отноешнию предельных продуктов:
w/r = MP L / MP K .
- Предельный продукт, отнесенный к цене ресурса, одинаков для обоих ресурсов:
MP L / w = MP K / r.
- Равновесие производителя достигается в случае, когда изокоста и некоторая изокванта имеют единственную общую точку, т. е. касаются друг друга.
Случай производства двух продуктов, причем число используемых ресурсов может быть произвольным.
Линейная модель производства. Предположим, что некоторое предприятие выпускает продукты X и Y, расходуя при этом ресурсы M и N. Введем обозначения:
x - выпуск продукта Х;
y - выпуск продукта Y;
m - имеющийся в наличии объем ресурса М (его запас);
n - имеющийся в наличии объем ресурса N (его запас);
а 11 - расход ресурса М при производстве единицы продукта Х;
а 12 - расход ресурса М при производстве единицы продукта Y;
а 21 - расход ресурса N при производстве единицы продукта Х;
а 22 - расход ресурса N при производстве единицы продукта Y;
p x - цена продукта X;
p y - цена продукта Y.
В данном случае никакая обычная производственная функция не может описать процесс производства, поэтому роль производственной функции выполняет функция общего дохода (выручки):
TR (x; y) = p x x + p y y.
При заданных запасах ресурсов максимум прибыли достигается одновременно с максимумом выручки, поскольку здесь прибыль равна разности переменной выручки и постоянной величины затрат на ресурсы. Поэтому функция выручки является в данном случае целевой функцией производителя.
Изокванта целевой функции производителя есть множество наборов продуктов одинаковой стоимости. В линейной модели производства изокванта изображается отрезком прямой, наклон которого к осям координат определяется отношением цен продуктов.
В своем стремлении максимизировать прибыль производитель двух продуктов, как и производитель одного продукта, сталкивается с определенными ограничениями.
Первое ограничение. Расход ресурса М припроизводстве всего количества продукта Х равен а 11 х, а его расход при производстве всего количества продукта Y равен а 12 y. Поскольку суммарный расход не может превосходить запаса ресурса, первое ограничение запишется следующим образом:
а 11 х + а 12 y ≤ m.
Аналогично второе ограничение, отвечающее ресурсу N, запишется так:
а 21 х + а 22 y ≤ n.
Планом производства называют пару выпусков продуктов (х; y), которая удовлетворяет обоим ограничениям.
Равновесный (оптимальный) план производства есть такой план, который максимизирует функцию выручки при заданных двух ограничениях. С формальной точки зрения нахождение равновесного плана производства состоит в максимизации линейной функции выручки при линейных ограничениях.
Тема 9. Фирма в условиях чистой (совершенной) конкуренции.
1. Рыночная власть. Совершенная и несовершенная конкуренция.
2. Максимизация объема производства совершенного конкурента в краткосрочном периоде.
3. Максимизация объема производства совершенного конкурента в долговременном периоде.
4. Эффективность фирмы в условиях чистой конкуренции.