Как решить линейное диофантово уравнение. Способы решения диофантовых уравнений

Пункт 5. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными.

Обычно, произвольное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах, т.е. найти все его решения, являющиеся целыми. Имя Диофанта - выдающегося Александрийского математика - появляется здесь не случайно. Диофант интересовался решением уравнений в целых числах еще в третьем веке нашей эры и, надо сказать, делал это весьма успешно.

Отступление про Диофанта и его исторический след.

Третий и последний период античного общества - период господства Рима. Рим завоевал Сиракузы в 212 году, Карфаген - в 146 году, Грецию - в 146, Месопотамию - в 46, Египет - в 30 году до нашей эры. Огромные территории оказались на положении колоний, но римляне не трогали их культуры и экономического устройства пока те исправно платили налоги и поборы. Установленный римлянами на столетия мир, в отличие от всех последующих великих миров и рейхов, принес всей завоеванной территории самый длинный период безвоенного существования, торговли и культурного обмена.

Александрия оказалась центром античной математики. Велись оригинальные исследования, хотя компилирование, пересказ и комментирование становились и стали основным видом научной деятельности. Александрийские ученые, если угодно, приводили науку в порядок, собирая разрозненные результаты в единое целое, и многие труды античных математиков и астрономов дошли до нас только благодаря их деятельности. Греческая наука с ее неуклюжим геометрическим способом выражения при систематическом отказе от алгебраических обозначений угасала, алгебру и вычисления (прикладную математику) александрийцы почерпнули с востока, из Вавилона, из Египта.

Основной труд Диофанта (ок. 250 г.) - "Арифметика". Уцелели только шесть книг оригинала, общее их число - предмет догадок. Мы не знаем, кем был Диофант, - возможно, что он был эллинизированный вавилонянин. Его книга - один из наиболее увлекательных трактатов, сохранившихся от греко-римской древности. В ней впервые встречается систематическое использование алгебраических символов, есть особые знаки для обозначения неизвестного, минуса, обратной величины, возведения в степень. Папирус N 620 Мичиганского университета, купленный в 1921 году, принадлежит эпохе Диофанта и наглядно это подтверждает. Среди уравнений, решаемых Диофантом, мы обнаруживаем такие, как x 2 - 26 y 2 = 1 и x 2 - 30 y 2 = 1, теперь известные нам как частные случаи "уравнения Пелля", причем Диофант интересуется их решениями именно в целых числах.

Книга Диофанта неожиданно оказала еще и огромное косвенное влияние на развитие математической науки последних трех столетий. Дело в том, что юрист из Тулузы Пьер Ферма (1601 - 1665), изучая "Арифметику" Диофанта, сделал на полях этой книги знаменитую пометку: "Я нашел воистину удивительное доказательство того, что уравнение x n + y n = z n при n > 2, не имеет решений в целых числах, однако поля этой книги слишком малы, чтобы здесь его уместить". Это одно из самых бесполезных математических утверждений получило название "Великой теоремы Ферма" и, почему-то, вызвало настоящий ажиотаж среди математиков и любителей (особенно после назначения в 1908 году за его доказательство премии в 100 000 немецких марок). Попытки добить эту бесполезную теорему породили целые разделы современной алгебры, алгебраической теории чисел, теории функций комплексного переменного и алгебраической геометрии, практическая польза от которых уже не подлежит никакому сомнению. Сама теорема, кажется, благополучно доказана в 1995 году; Пьер Ферма, конечно, погорячился на полях "Арифметики", ибо он физически не мог придумать подобного доказательства, требующего колоссальной совокупности математических знаний. Элементарного доказательства великой теоремы Ферма пока никто из жителей нашей планеты найти не смог, хотя над его поиском бились лучшие умы последних трех столетий. Однако, до сих пор тысячи психически нездоровых любителей-"ферматистов" в жажде славы и денег бомбят своими письмами академические институты и университеты и почти ежегодно один из сотрудников кафедры алгебры и дискретной математики Уральского госуниверситета, где я работаю, вынужден вести с таким психом дипломатическую переписку на заранее заготовленном бланке:

"Уважаемый.............................! В Вашем доказательстве на странице №......, в строке №........, содержится ошибка..............................................................".

Пусть требуется решить линейное диофантово уравнение:

ax + by = c ,

где a , b , c О Z ; a и b - не нули.

Попробуем порассуждать, глядя на это уравнение.

Пусть (a , b ) = d . Тогда a = a 1 d ; b = b 1 d и уравнение выглядит так:

a 1 d· x + b 1 d· y = c , т.е. d· (a 1 x + b 1 y ) = c .

Теперь и ежику ясно, что у такого уравнения имеется решение (пара целых чисел x и y ) только тогда, когда d | c . Поскольку очень хочется решать это уравнение дальше, то пусть d | c . Поделим обе части уравнения на d , успокоимся, и всюду далее будем считать, что (a , b ) = 1. Так можно.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Пусть c = 0, уравнение имеет вид ax + by = 0 - " однородное линейное диофантово уравнение". Немножко потрудившись, находим, что

x = - b a y .

Так как x должен быть целым числом, то y = at , где t - произвольное целое число (параметр). Значит x = - bt и решениями однородного диофантова уравнения ax + by = 0 являются все пары вида {- bt , at }, где t = 0; ±1; ±2;... Множество всех таких пар называется общим решением линейного однородного диофантова уравнения, любая же конкретная пара из этого множества называется частным решением.

Дорогие читатели, не правда ли, что все названия уже до боли знакомы? "Однородное уравнение", "общее решение" - все это мы уже слышали и в курсе линейной алгебры и в лекциях по дифференциальным уравнениям. При разборе следующего случая эта аналогия буквально выпирает на первый план, что, конечно, не случайно, но исследование единства великого государства линейности на материке математики выходит за рамки этой скромной книжки.

Случай 2. Пусть теперь c № 0. Этот случай закрывается следующей теоремой.

Теорема. Пусть (a , b ) = 1, { x 0 , y 0 } - частное решение диофантова уравнения ax + by = c . Тогда его общее решение задается формулами:

м
н
о 		x = x 0 - bt
y = y 0 + at .

Таким образом, и в теории линейных диофантовых уравнений общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого (любого) частного решения неоднородного уравнения. Вот оно - проявление единства линейного мира! (Однажды, перед экзаменом по дифференциальным уравнениям, мне снился кошмар, будто все линейные пространства решений сговорились между собой и требовали от меня прибавить к ним частное решение, так как они не хотели содержать нулевой вектор, а хотели быть линейными многообразиями. Я отказался, а наутро, на экзамене, мне досталась однородная система!)

Доказательство. То, что правые части указанных в формулировке теоремы равенств действительно являются решениями, проверяется их непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Покажем, что любое решение уравнения ax + by = c имеет именно такой вид, какой указан в формулировке теоремы. Пусть { x * , y *} - какое-нибудь решение уравнения ax + by = c . Тогда ax * + by * = c , но ведь и ax 0 + by 0 = c . Следуя многолетней традиции доказательства подобных теорем, вычтем из первого равенства второе и получим:

a (x *- x 0) + b (y *- y 0) = 0

Однородное уравнение. Далее, глядя на случай 1, рассмотрение которого завершилось несколькими строками выше, пишем сразу общее решение: x *- x 0 = - bt , y *- y 0 = at , откуда моментально, используя навыки третьего класса средней школы, получаем:

м
н
о 		x * = x 0- bt ,
y * = y 0 + at.

"Все это, конечно, интересно", - скажет читатель, - "Но как же искать то самое частное решение { x 0 , y 0 }, ради которого и затеяна вся возня этого пункта и которое, как теперь выясняется, нам так нужно?". Ответ до глупости прост. Мы договорились, что (a , b ) = 1. Это означает, что найдутся такие u и v из Z , что au + bv = 1 (если вы это забыли, вернитесь в пункт 4), причем эти u и v мы легко умеем находить с помощью алгоритма Евклида. Умножим теперь равенство au + bv = 1 на c и получим: a (uc ) + b (vc ) = c , т.е. x 0 = uc , y 0 = vc . Вот и все!

Пример. Вы - хроноп, придуманный Хулио Кортасаром в книжке "Из жизни хронопов и фамов". Вам нужно расплатиться в магазине за синюю пожарную кишку, ибо красная в хозяйстве уже давно есть. У вас в кармане монеты достоинством только в 7 и 12 копеек, а вам надо уплатить 43 копейки. Как это сделать? Решаем уравнение:

7 x + 12 y = 43

Включаем алгоритм Евклида:

12 = 7· 1 + 5
7 = 5· 1 + 2
5 = 2· 2 + 1
2 = 1· 2

Значит, наибольший общий делитель чисел 7 и 12 равен 1 , а его линейное выражение таково:

1 = 5 - 2· 2 = 5 - (7 - 5) · 2 = (12 - 7) - (7 - (12 - 7) · 2) = 12· 3 + 7· (- 5),

т.е. u = - 5, v = 3. Частное решение:

x 0 = uc = (- 5) · 43 = - 215
y 0 = vc = 3 · 43 = 129.

Итак, вы должны отобрать у кассира 215 семикопеечных монет и дать ему 129 двенадцатикопеечных. Однако процедуру можно упростить, если записать общее решение неоднородного диофантова уравнения:

x = -215 - 12 t
y = 129 + 7 t

и, легко видеть, что при t = - 18, получаются вполне разумные x = 1, y = 3, поэтому дубасить кассира необязательно.

Чтобы решить линейное диофантово уравнение, нужно найти значения переменных «x» и «y», которые являются целыми числами. Целочисленное решение сложнее обычного и требует определенного набора действий. Сначала необходимо вычислить наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов, а затем найти решение. Если вы нашли одно целочисленное решение линейного уравнения, можно применить простой шаблон, чтобы найти бесконечное множество других решений.

Шаги

Часть 1

Как записать уравнение

  1. Запишите уравнение в стандартной форме. Линейное уравнение - это уравнение, в котором показатели степени переменных не превышают 1. Чтобы решить такое линейное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Стандартная форма линейного уравнения выглядит так: A x + B y = C {\displaystyle Ax+By=C} , где A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} - целые числа.

    • Если уравнение дано в другой форме, приведите его к стандартной форме с помощью основных алгебраических действий. Например, дано уравнение 23 x + 4 y − 7 x = − 3 y + 15 {\displaystyle 23x+4y-7x=-3y+15} . Приведите подобные члены и запишите уравнение так: 16 x + 7 y = 15 {\displaystyle 16x+7y=15} .

  2. Упростите уравнение (если можно). Когда вы запишете уравнение в стандартной форме, посмотрите на коэффициенты A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} . Если у этих коэффициентов есть НОД, разделите на него все три коэффициента. Решение такого упрощенного уравнения также будет решением исходного уравнения.

    • Например, если все три коэффициента четные, разделите их как минимум на 2. Например:
      • 42 x + 36 y = 48 {\displaystyle 42x+36y=48} (все члены делятся на 2)
      • 21 x + 18 y = 24 {\displaystyle 21x+18y=24} (теперь все члены делятся на 3)
      • 7 x + 6 y = 8 {\displaystyle 7x+6y=8} (это уравнение больше нельзя упростить)

  3. Проверьте, можно ли решить уравнение. В некоторых случаях можно сразу заявить, что уравнение не имеет решений. Если коэффициент «С» не делится на НОД коэффициентов «А» и «В», у уравнения нет решений.

    • Например, если оба коэффициента A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} четные, то и коэффициент C {\displaystyle C} должен быть четным. Но если C {\displaystyle C} нечетный, то решения нет.
      • У уравнения 2 x + 4 y = 21 {\displaystyle 2x+4y=21} нет целочисленных решений.
      • У уравнения 5 x + 10 y = 17 {\displaystyle 5x+10y=17} нет целочисленных решений, так как левая часть уравнения делится на 5, а правая - нет.

  4. Проанализируйте полученный результат. Когда вы найдете НОД коэффициентов A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , сравните его с коэффициентом C {\displaystyle C} исходного уравнения. Если C {\displaystyle C} делится на НОД A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , уравнение имеет целочисленное решение; в противном случае у уравнения нет решений.

    • Например, уравнение можно решить, потому что 3 делится на 1 (НОД=1).
    • Например, предположим, что НОД=5. 3 не делится на 5 нацело, поэтому такое уравнение не имеет целочисленных решений.
    • Как показано ниже, если уравнение имеет одно целочисленное решение, оно также имеет бесконечное множество других целочисленных решений.

    Часть 3

    Как найти решение с помощью алгоритма Евклида

    1. Пронумеруйте шаги вычисления НОД. Чтобы найти решение линейного уравнения, нужно использовать алгоритм Евклида в качестве основы процесса подстановки и упрощения.

      • Начните с нумерации шагов вычисления НОД. Процесс вычисления выглядит так:
        • Шаг 1: 87 = (1 ∗ 64) + 23 {\displaystyle {\text{Шаг 1}}:87=(1*64)+23}
        • Шаг 2: 64 = (2 ∗ 23) + 18 {\displaystyle {\text{Шаг 2}}:64=(2*23)+18}
        • Шаг 3: 23 = (1 ∗ 18) + 5 {\displaystyle {\text{Шаг 3}}:23=(1*18)+5}
        • Шаг 4: 18 = (3 ∗ 5) + 3 {\displaystyle {\text{Шаг 4}}:18=(3*5)+3}
        • Шаг 5: 5 = (1 ∗ 3) + 2 {\displaystyle {\text{Шаг 5}}:5=(1*3)+2}
        • Шаг 6: 3 = (1 ∗ 2) + 1 {\displaystyle {\text{Шаг 6}}:3=(1*2)+1}
        • Шаг 7: 2 = (2 ∗ 1) + 0 {\displaystyle {\text{Шаг 7}}:2=(2*1)+0}

    2. Обратите внимание на последний шаг, где есть остаток. Перепишите уравнение этого шага так, чтобы изолировать остаток.

      • В нашем примере последний шаг с остатком - это шаг 6. Остаток равен 1. Перепишите уравнение шага 6 следующим образом:
        • 1 = 3 − (1 ∗ 2) {\displaystyle 1=3-(1*2)}

    3. Изолируйте остаток предыдущего шага. Этот процесс представляет собой пошаговое «перемещение вверх». Каждый раз вы будете изолировать остаток в уравнении предыдущего шага.

      • Изолируйте остаток уравнения шага 5:
        • 2 = 5 − (1 ∗ 3) {\displaystyle 2=5-(1*3)} или 2 = 5 − 3 {\displaystyle 2=5-3}

    4. Сделайте замену и упростите. Обратите внимание, что уравнение шага 6 содержит число 2, а в уравнении шага 5 число 2 изолировано. Поэтому вместо «2» в уравнении шага 6 подставьте выражение шага 5:

      • 1 = 3 − 2 {\displaystyle 1=3-2} (уравнение шага 6)
      • 1 = 3 − (5 − 3) {\displaystyle 1=3-(5-3)} (вместо 2 подставили выражение)
      • 1 = 3 − 5 + 3 {\displaystyle 1=3-5+3} (раскрыли скобки)
      • 1 = 2 (3) − 5 {\displaystyle 1=2(3)-5} (упростили)

    5. Повторите процесс подстановки и упрощения. Повторите описанный процесс, перемещаясь по алгоритму Евклида в обратном порядке. Каждый раз вы будете переписывать уравнение предыдущего шага и подставлять его в последнее полученное уравнение.

      • Последним рассмотренным шагом был шаг 5. Поэтому перейдите к шагу 4 и изолируйте остаток в уравнении этого шага:
        • 3 = 18 − (3 ∗ 5) {\displaystyle 3=18-(3*5)}
      • Подставьте это выражение вместо «3» в последнее уравнение:
        • 1 = 2 (18 − 3 ∗ 5) − 5 {\displaystyle 1=2(18-3*5)-5}
        • 1 = 2 (18) − 6 (5) − 5 {\displaystyle 1=2(18)-6(5)-5}

    6. Продолжите процесс подстановки и упрощения. Этот процесс будет повторяться до тех пор, пока вы не достигнете первоначального шага алгоритма Евклида. Цель процесса - записать уравнение с коэффициентами 87 и 64 исходного уравнения, которое нужно решить. В нашем примере:

      • 1 = 2 (18) − 7 (5) {\displaystyle 1=2(18)-7(5)}
      • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) {\displaystyle 1=2(18)-7(23-18)} (подставили выражение из шага 3)
        • 1 = 2 (18) − 7 (23) + 7 (18) {\displaystyle 1=2(18)-7(23)+7(18)}
        • 1 = 9 (18) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(18)-7(23)}
      • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23)} (подставили выражение из шага 2)
        • 1 = 9 (64) − 18 (23) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(64)-18(23)-7(23)}
        • 1 = 9 (64) − 25 (23) {\displaystyle 1=9(64)-25(23)}
      • 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) {\displaystyle 1=9(64)-25(87-64)} (подставили выражение из шага 1)
        • 1 = 9 (64) − 25 (87) + 25 (64) {\displaystyle 1=9(64)-25(87)+25(64)}
        • 1 = 34 (64) − 25 (87) {\displaystyle 1=34(64)-25(87)}

    7. Перепишите полученное уравнение в соответствии с исходными коэффициентами. Когда вы вернетесь к первому шагу алгоритма Евклида, вы увидите, что полученное уравнение содержит два коэффициента исходного уравнения. Перепишите уравнение так, чтобы порядок его членов соответствовал коэффициентам исходного уравнения.

      • В нашем примере исходное уравнение 87 x − 64 y = 3 {\displaystyle 87x-64y=3} . Поэтому перепишите полученное уравнение так, чтобы коэффициенты привести в соответствие. Обратите особое внимание на коэффициент «64». В исходном уравнении этот коэффициент отрицательный, а в алгоритме Евклида - положительный. Поэтому множитель 34 нужно сделать отрицательным. Окончательное уравнение запишется так:
        • 87 (− 25) − 64 (− 34) = 1 {\displaystyle 87(-25)-64(-34)=1}

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

г. Павлово.

Научно-исследовательская работа

Методы решения диофантовых уравнений.

Отделение: физико-математическое

Секция: математика

Выполнил:

ученик 8 А класса Трухин Николай (14 лет)

Научный руководитель:

учитель математики

Лефанова Н. А.

г. Павлово

2013 г.

Оглавление

I Введение…………………………………………………………………………3

II Обзор литературы……………………………………………………………....5

III Основная часть…………………………………………………………………6

IV Заключение…………………………………………………………………...15

V Список литературы……………………………………………………………16

VI Приложение…………………………………………………………………..17

    Введение.

В 2011-2012 году я выполнял исследовательскую работу на тему: «Решение уравнений в Древней Греции и Индии». При работе над ней я познакомился с трудами Диофанта Александрийского и Мухаммеда аль - Хорезми. В своей прошлой работе я рассмотрел некоторые способы решения уравнений первой степени с двумя неизвестными, познакомился с некоторыми старинными задачами, приводящими к решению уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми, - или Магомед сын Моисея Хорезмского, состоящий членом «дома мудрости» в Иране, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, где учил решать простые и сложные вопросы арифметики, которые необходимы людям при дележе наследства, составлении завещаний, разделе имущества и судебных делах, в торговле, всевозможных сделках. С именем аль – Хорезми связаны понятия «алгебра», «арабские цифры», «алгоритм». Он отделил алгебру от геометрии, внёс большой вклад в математику исламского средневековья. Мухаммед аль – Хорезми был известен и уважаем, как при жизни, так и после смерти.

Но мне захотелось больше узнать о Диофанте. И тема моего исследования в этом году: «Методы решения диофантовых уравнений»

Диофант Александрийский - один из самых своеобразных древнегреческих математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой, только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах содержится 189 задач с решениями. В первой книги изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой и второй степени. Остальные пять книг содержат в основном неопределенные уравнения (неопределенными называются уравнения, содержащие более чем одно неизвестное). В этих книгах ещё нет систематической теории неопределённых уравнений, методы решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным. Тем не менее, методы решения неопределённых уравнений, составляют основной вклад Диофанта в математику. В символике Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая неопределённые уравнения, он применял в качестве нескольких неизвестных произвольные числа, вместо которых можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решений.

Цель моей работы:

1.Продолжить знакомство с диофантовыми уравнениями.

2.Исследовать методы перебора и рассеивания (измельчения) при решении диофантовых уравнений.

3.Исследовать возможность применения диофантовых уравнений для решения некоторых практических задач.

II . Обзор литературы.

При написании работы мной использовалась следующая литература:

Мной использована информация о Диофанте и аль – Хорезми.

Книга посвящена методам Диофанта при решении неопределённых уравнений. В ней рассказывается о жизни и самого Диофанта. Эта информация использована мной в работе.

В книги рассказывается об истории алгебры с древних времён. Я использовал информацию о теории уравнений, начиная с древности.

В этой книге собрано около 200 статей, посвященных основным понятиям математики и её приложения. Мной были использованы материалы статей «Алгебра», «Уравнения», «Диофантовы уравнения»

Из книги взяты тексты задач для практического использования.

    По теме мной использовался сайт:

http :// ru . wikipedia . org (информация об аль – Хорезми и Диофанте. О методах решения диофантовых уравнений).

    Основная часть

В наши дни каждый, кто занимался математикой, слышал о диофантовых уравнениях. Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Наиболее изучены диофантовы уравнения 1 и 2 степени. В содержании моей работы включены задачи, которые сводятся к решению уравнения первой степени с двумя неизвестными

(1)

Рассмотрим задачу.

Задача 1. В клетке находится x фазанов и у кроликов. Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62.

Общее число ног можно записать с помощью уравнения 2х+4у=62 (2)

Это равенство, которое я составил по условию задачи, называют уравнением с двумя переменными. Данное уравнение называют линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Напомню основные положения, связанные с этим понятием.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax +by =c , где x и у – переменные, а, b и с – некоторые числа.

Однозначно определить из уравнения (2) значения x и y нельзя. Даже если ограничиться только натуральными значениями переменных, здесь могут быть такие случаи: 1 и 15, 3 и 14, 5 и 13 и т. д.

Пара чисел (a , b ) называется решением уравнения с двумя переменными, если при замене x на а и y на b получаем истинное равенство.

Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т. е. множество, состоящее из всех пар чисел (a , b ), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство. При этом, конечно, если заранее указаны множества Х и Y , которые могут принимать неизвестные x и у, то надо брать лишь такие пары (a , b ), для которых а принадлежит Х и b принадлежит Y .

Пару чисел (a , b ) можно изобразить на плоскости точкой М, имеющей координаты а и b , М= М (a , b ). Рассматривая изображения всех точек множества решений уравнения с двумя неизвестными, получим некоторое подмножество плоскости. Его называют графиком уравнения.

Можно доказать, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, является прямая линия. Для построения графика этого уравнения достаточно взять две точки с координатами и провести через них прямую. Графический метод решения я использовал в предыдущей работе.

Два уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения называются равносильными.

Например, равносильны уравнения х+2у=5 и 3х+6у=15 – любая пара чисел, удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет и второму.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Существует несколько способов решения диофантовых уравнений:

    Метод перебора вариантов

    Использование алгоритма Евклида

    С использованием цепной дроби

    Метод рассеивания (измельчения)

    При помощи программирования на языке программирования Паскаль

В своей работе я исследовал методы – перебор вариантов и рассеивание (измельчения)

Рассматривая способ перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Например, этот способ можно применить, решая следующую задачу:

Задача 2 . Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение.

Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у =180 , причем x меньше или равен 21. Получим: 5х-у=90, 5х=90+у, х=18+у:5.

Так как x целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы в правой части получилось целое число. Возможны четыре случая

    у=0, х=18, т. е. решением является пара – (18, 0);

    у=5, х=19, (19, 5);

    у=10, х=20, (20, 10);

    у=15, х=21, (21, 15).

Эту задачу я решил, используя способ перебора вариантов. Ответ содержит четыре возможных варианта. Я попробовал решить этим способом ещё несколько задач.

Задача 3. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых?

Решение.

Пусть x – количество двухрублевых монет, у – количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х+5у=23; 2х=23–5у; x = (23 – 5у):2; x =(22+1 – 5у):2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у):2.

Так как x и y натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов.

    y =1, х=9, то есть двухрублевых монет может быть 9;

    у=2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2;

    у=3, х=4, то есть двухрублевых монет может быть 4;

    при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.

Таким образом, ответ в задаче следующий: среди монет 9 или 4 двухрублевых.

Задача 4. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей

Решение.

Сказочнице потребуется x + у ночей, где x и у – натуральные корни уравнения 3х+5у=1001

x = (1001 – 5у):3; так как x – натуральное число, то и в правой части равенства также должно быть натуральное число, а значит выражение (1001 – 5у) должно нацело делиться на 3.

Осуществим перебор вариантов.

у=1, 1001 – 5у=1001-5= 996, 996 делится на 3, следовательно, х=332; решение (332;1);

у=2, 1001– 10=991, 991 не делится на 3;

у=3, 1001 – 15 = 986; 986 не делится на3;

у =4, 1001 – 20 = 981, 981 делится на 3, следовательно, x = 327, решение (327;4) и т. д.

В этой задаче существует 67 пар возможных корней, я не стал показывать все решения данной задачи, т. к. это занимает много времени.

Уравнение ax + by = c (1) в приведённых задачах я решал способом перебора вариантов. Я уяснил для себя, что способ перебора вариантов не всегда эффективен для решения данной задач, так как для нахождения всех решений уравнения требуются значительные временные затраты. И, на мой взгляд, в настоящее время он неактуален.

Поэтому я решил задачу про Шехерезаду, используя метод рассеивания (измельчения).

Метод рассеивания – это общий метод для решения в целых числах неопределённых уравнений первой степени с целыми коэффициентами.

Итак, решим задачу про Шехерезаду методом рассеивания:

Обратимся к уравнению 3х + 5у = 1001.

Перепишем его иначе: 3х= 1001- 5у; 3х= 1001 - 2у - 3у;

x = – y +
и обозначим x l = у + x

В результате уравнение примет вид 3х 1 = 1001 – 2у или

у = –x l
.

Если вновь произвести замену у 1 = у + х 1 , то придем к уравнению

x 1 + 2у 1 = 1001. Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились - измельчились.

Здесь коэффициент при x 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 1 = t число х 1 тоже целое. Остается выразить исходные переменные через t :

х 1 = 1001 – 2 t , следовательно, у = – 1001 + 3 t , а x = 2002 – 5 t . Итак, получаем бесконечную последовательность (2002 – 5 t , – 1001 + 3 t ) целочисленных решений. Внешний вид формул для нахождения значений переменных отличается от решений, полученных ранее, но с учетом условия задачи, корни получаются те же самые. Так, пара (332;1) получается при t =334.

На мой взгляд, этот метод не только более удобный (у него есть алгоритм действий), но и интересный. Известно, что этот метод в первые применил в начале VI в. индийский математик Ариабхатта.

В прошлом году я показывал решение древней индийской задачи Брахмагупты методам рассеивания, которое предложил сам Брахмагупта. Решение было нерациональным.

Оно представлено ниже:

«Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8 равно 13. »

В задаче требуется найти все целые решения уравнений.

Решение:

(1) 19x – 8y = 13

Выражаю y – неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом через x , получаю:

(2) y = (19x – 13)/8

Нужно теперь узнать, при каких целых значениях x соответствующие значения y являются тоже целыми числами. Перепишу уравнение (2) следующим образом:

(3) y = 2x + (3x – 13)/8

Из (3) следует, что y при целом x принимает целое значение только в том случае, если выражение (3x -13)/8 является целым числом, скажем y 1 . Полагая

(4) (3x - 13)/8 = y 1 ,

вопрос сводится к решению в целых числах уравнения (4) с двумя неизвестными x и y 1 ; его можно записать так:

(5) 3x – 8y 1 = 13.

Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) преимущество, что 3 – наименьшее из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в (1), т.е. 8. Это было достигнуто благодаря тому, что коэффициент при x (19) был заменен остатком от деления на 8.

Продолжая тем же способом, мы получим из (5):

(6) x = (8y 1 +13)/3 = 2y 1 + (2y 1 + 13)/3.

Итак, неизвестное x при целом y 1 только тогда принимает целые значения, когда (2y 1 + 13)/3 есть целое число, скажем y 2 :

(7) (2y 1 + 1)/3 = y 2 ,

или

(8) 3y 2 – 2 y 1 = 13.

(9) y 1 = (3y 2 - 13)/2 = y 2 + (y 2 - 13)/2

Полагая

(10) (y 2 - 13)/2 = y 3 ,

получаю

(11) y 2 – 2 y 3 = 13.

Это самое простое из всех рассмотренных неопределенных уравнений, так как один из коэффициентов равен 1.

Из (11) получаю:

(12) y 2 = 2y 3 + 13.

Отсюда видно, что y 2 принимают целые значения при любых целых значениях y 3 . Из равенств (6), (9), (12), (3) путем последовательных подстановок можно найти следующие выражения для неизвестных x и y уравнения (1):

x = 2y 1 + y 2 = 2(y 2 + y 3 ) + y 2 = 3y 2 + 2y 3 = 3(2y 2 + 13) + 2y 3 = 8y 3 + 39;

у = 2x + y 1 = 2(8y 3 + 39) + y 2 + y 3 = 19y 3 +91.

Таким образом, формулы

x = 8y 3 + 39,

y = 19y 3 + 91.

При y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, … дают все целые решения уравнения (1).

В следующей таблице приведены примеры таких решений.

Таблица 1.

y3

x

y

Решим эту задачу рационально. В решении используется определённый алгоритм.

Задача 5.

Найти два числа, если разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13.

Решение. Требуется решить уравнение 19х - 8у = 13

Перепишем его иначе: 8y =19x –13; 8y =16x +3x –13; у = 2х +

и обозначим y 1 = у - 2х.

В результате уравнение примет вид 8у 1 = Зx - 13 или x = 2y 1
.

Если вновь произвести замену х 1 = x - 2у 1 , то придем к уравнению

3x l - 2у 1 = 13.

Коэффициенты при неизвестных уменьшились - измельчились. Дальнейшее измельчение: y 1 = x l +
, то получим у 2 =у 1 –х 1 .

В результате последнее уравнение преобразуется к виду х 1 - 2у 2: = 13. Здесь коэффициент при х 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 2 = t число х 1 тоже целое.

Остается выразить исходные переменные через t :

вначале выразим х 1 =2t +13, y 1 = 3t +13; а затем x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

Итак, получаем бесконечную последовательность (39 + 8 t , 91 + 19 t ) целочисленных решений . Уравнение ax + by = c (1) в приведённых задачах я решал способом рассеивания (измельчения).

IV . Заключение.

Изучая диофантовы уравнения для их решения, я использовал методы перебора вариантов и рассеивания (измельчения). Этими методами я решал, как современные, так и древние задачи. В содержании моей работы были включены задачи, которые сводятся к решению уравнений первой степени с двумя переменными ах+b у=с (1)

В ходе своей работы я сделал выводы:

    Метод перебора требует значительные временные затраты, а значит он не очень удобен и рационален.

    Более рациональным, на мой взгляд, является метод рассеивания. Когда я решал старинную индийскую задачу этим методом, я понял, что существует определённый алгоритм решения. Мне было достаточно полученных в школе знаний. Я убедился, что методы решения дофантовых уравнений с развитием математики постоянно совершенствуются.

На следующий год я хочу продолжить изучение методов решения диофантовых уравнений.

V . Список литературы

    Г. И. Глейзер «История математики в школе» М.: изд. «Просвещение» 1964г. 376с.

    И. Г. Башмакова «Диофант и диофантовы уравнения» М.: изд. «Наука» 1972г. 68с.

    В. А. Никифоровский «В мире уравнений» М.: изд. «Наука» 1987г. 176с.

    А. П. Савин «Энциклопедический словарь юного математика» М.: изд. «Педагогика» 1985г.

    Г. М. Возняк, В. Ф. Гусев «Прикладные задачи на экстремумы» М.: изд. «Просвещение» 1985г. 144с.

    http :// ru . wikipedia . org

VI . Приложение.

    На фермерском хозяйстве нужно провести водопровод длиной 167м. Имеются трубы длиной 5м и 7м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровые трубы обозначаем через х, 5 – метровые – через у

Тогда 7х – длина 7 – метровых труб, 5у – длина 5 – метровых труб.

Отсюда получаем неопределённое уравнение:

7х+5у=167

Выпазив, например, переменную у через переменную х , получим:

Методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у , которые удовлетворяют уравнению 7х+5у=167

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т. е. х=21; у=4.

Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Так, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (х ) на 12 и номера месяца (у ) на 31.

2. Пусть сумма произведений, о которых идёт речь, равна 330. Найти дату рождения.

Решим неопределённое уравнение

12 х + 31 у = 330.

С помощью метода рассеивания получим:

х = 43 – 31 у 4 ,

у = 6 – 12 у 4 .

Ввиду ограничений, легко констатировать, что единственным решением является

у 4 = 1, х = 12, у = 6.

Итак, дата рождения: 12-е число 6-го месяца, т.е. 12 июня.

Диофантовые уравнения

Способы решения диофантовых уравнений

Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. Рассмотрим сначала уравнения первой степени. Так как решение линейного уравнения с одним неизвестным не представляет интереса, то обратимся к уравнениям с двумя неизвестными.Мы рассмотрим два метода решения этих уравнений.

Первый способ решения таких уравнений- алгоритм Евклида. Можно найти наибольший делитель натуральных чисел a и b, не раскладывая эти числа на простые множители, применяя процесс деления с остатком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот прицесс до тех пор, пока не произойдёт деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД(a,b). Чтобы доказать это утверждение, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств:если a>b ,то

Здесь r1,….,rn-положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует,что общий делитель чисел a и b делит r1 и общий дилитель b и r1 делит а,поэтому НОД (a,b) = НОД (r1 ,r2)=….= НОД (rn-1, rn) = НОД (rn,0)= rn.Обратимся снова к системе(1).Из первого равенства, выразив остаток r1 чирез а и b ,получим r1=а- bq0. Подставляя его во второе равенство,найдём r2=b(1+q0q1)-aq1. Продолжая этот процесс дальше,мы сможем выразить все остатки через а и b, в том числе и последний rn=Аа+Вb. В результате нами доказано предложение:если d-наибольший общий делитель натуральных чисел а и b,то найдутся такие целые числа А и В,что d= Аа+Вb. Заметим,что коэффициенты А и В имеют разные знаки; если НОД(a,b)=1,то Аа+Вb=1. Как найти числа А и В видно из алгоритма Евклида.

Перейдём теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид:

Возможны два случая: либо c делится на d= НОД(a,b), либо нет. В первом случае можно разделить обе части на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a1x+b1y=c1, коэффициенты которого а1=а/d и b1=b/d взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число аx+by делится на d и поэтому не может равнятся числу с,которое на d не делится. Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (2) коэффициенты взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа x0 и y0,что ax0+by0=1, откуда пара (сx0,cy0) удовлетворяет уравнению (2) Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (x,y) целых чисел, которые можно найти по формулам

x=cx0+bt,y=cy0-at. (3)

Здесь t-любое целое число. Нетрудно показать,что других целочисленных решений нет уравнение ax+by=c не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнеия (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение. Найдём, например, целочисленные решения уже встречавшегося нам уравнения 2x+5y=17. Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим 2*3-5=1. Значит пара cx0=3*17,cy0=-1*17 удовлетворяет уравнению 2x+5y=17. Поэтому общее решение исходного уравнения таково x=51+5t, y=-17-2t,где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем t , для которых выполняются неравенства

Отсюда найдем -51 ?t? -17 . Этим неравенствам удовлетворяют числа -10, -9. 52

Соответствующие частные решения запишутся в виде пар (1,3), (6,1).

Применим этот же метод к решению одной из древних китайских задач о птицах.

Задача: Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица - 4, а 4 цыпленка - 1 монету?

Для решения этой задачи обозначим искомое число петухов через х, кур - через y, а цыплят через 4z (из условия видно, что число цыплят должно делится на 4). Составим систему уравнений:

которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4, а второе -- на (-- 1) и сложив результаты, придем к уравнению -- х+15z=300 с целочисленными решениями х= -- 300+ 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 -- 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид х= --300+15t, y = 400--19t, z = t. Из условия задачи вытекает, что

откуда 20?t?21 1/19, т.е. t = 20 или t = 21. Итак, на 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка

Второй метод решения диофантовых уравнений первой степени по своей сути не слишком отличается от рассмотренного в предыдущем пункте, но он связан с ещё одим интересным математическим понятием. Речь идёт о непрерывных или цепных дробях. Чтобы определить их вновь обратимся к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь а/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b=q0+r1/b . Но r1/b=1/b, и на основании второго равенства той же системы имем b/r1=q1+r2/r1. Значит, a/b=q0+1/q1+r2/r1. Далее получим a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2. Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придём к знаменателю qn. В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn. Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин- цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. В качестве примера представим дробь 40/3t в виде цепной: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/9/4=1+1/3+1/2+1/4 .

Цепные дроби обладают следующим важным свойством: если действительное число а записать в виде непрерывной дроби, то подходящая дробь Pk/Qk даёт наилучщее приближение числа a среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят Qk . Именно в процессе поиска наилучшего приблежения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катальди (1552-1626) пришёл в 1623году к цепным дробям, с чего и началось их изучение. В заключение вернёмся к цепным дробям и отметим их преимущество и недостаток по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой исчисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей.

Рассмотрим Диофантовы уравнения и решим их.

1 Решить в целых числах уравнение 3x+5y=7.

x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,

y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,

y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,

x=7-5(-1+3t)/3=4-5t

(t-любое число).

2 Решить в целых числах уравнение 6xІ+5yІ=74.

6xІ-24=50-5yІ, или 6(xІ-4)=5(10-yІ), откуда xІ-4=5u,т.е. 4+5u?0, откуда u?-4/5.

Аналогично:

10-yІ=6u, т.е. 10-6u?0, u?5/3.

Целое число u удовлетворяет неравенству

4/5?u?5/3, значит. u=0 и u=1.

При u=0, получим 10=yІ, где y-не целое, что неверно. Пусть u=1, тогда xІ=9, yІ=4.

Ответ: {x1=3, {x2=3, {x3=-3, {x4=-3,

{y1=2, {y2=-2, {y3=2, {y4=-2 .

3 Решить в целых числах уравнение xі+yі-3xy=2.

Если x и y оба нечётны или одно из них нечётно, то левая часть уравнения есть нечётное число, а правая-чётное. Если же x=2m и y=2n, то 8mі+8nі-12mn=2, т.е. 2(2mі+2nі-3mn)=1, что невозможно ни при каких целых m и n.

4 Доказать, что уравнение 2xІ+5yІ=7 не имеет решений в целых числах.

Доказательство.

Из уравнения видно, что y должен быть нечётным числом. Положив y=2z+1, получим 2xІ-20zІ-20z-5=7, или xІ-10zІ-10z=6, откуда следует что x есть чётное число. Положим x=2u. Тогда 2uІ-5z(z=1)=3, что невозможно, так как z(z+1) есть чётное число.

5 Доказать, что при любом целом положительном значении а уравнение xІ+yІ=аі разрешимо в целых числах.

Доказательство.

Положим x+y=аІ, x-y=а, откуда x=a(a+1)/2 и y=a(a-1)/2. Поскольку при любом целом значении а в числителе каждой из данных дробей стоит произведение чётного и нечётного чисел, определённые таким образом x и y представляют сорбой целые числа и удовлетворяют исходному уравнению.

6 Решите в целых числах уравнение (x+1)(xІ+10=yі.

Непосредственно видим, что пары чисел (0;1) и (-1;0) являются решениями уравнения. Других решений нет, так как

xі<(x+1)(xІ+1)<(x+1)(x+1)І=(x+1) і, то (x+1)(xІ+1)?yі

ни для какого целого y (распологающегося между кубами последовательных целых чисел).

10 и еще один способ решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. 2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата. 3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. 4. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения...

10 способов решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических...

Диофантовые уравнения

Задачи Диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, проблемы решения уравнеий скорее относятся к алгебре, чем к арифметике. Почему же тогда мы говорим, что эти уравнения относятся к арифметическим? Дело в том...

Линейные диофантовы уравнения

Диофант (Diophantos) представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он...

Логические задачи и методы их решения

Математическая модель системы слежения РЛС

В производстве всегда существовала проблема, сущность которой заключалась в переводе системы из некоторого начального фазового состояния в некоторое заранее заданное конечное состояние. Причем точность перехода должна быть максимальной...

Математические уравнения и их использование в решении задач

Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А (х)=В (х) - выражения от неизвестного х. В эти выражения помимо чисел, знаков арифметических операций и обозначений функций могут входить и другие буквы, которые обозначают переменные...

Методические особенности обучения решению текстовых задач учащихся начальной школы

Решить задачу - это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос)...

Методы геометрии чисел для решения диофантовых уравнений

Теорема Лагранжа о четырех квадратах. Теорема: Всякое натуральное может быть представлено в виде суммы четырех квадратов целых чисел (*) Ясно, что достаточно доказать существование представления (*) лишь для бесквадратных чисел...

Нестандартные методы решения задач по математике

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида или где, --- некоторые функции и...

Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Существуют и другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимо использования свойств функции. Данная глава посвящена дополнительным методам решения...

Введение …………………………………………………………………………………………………1-2

1. Диофант и его труды ……………………………………………………………………………3-4

2. Решение Диофантовых уравнений……………………………………………………..4-7

2.1. Диофантовы уравнения с одним неизвестным ……………………………..4-5

2.2. Неопределенные уравнения II-ой степени вида x2 + y2 = z2………….5-6

2.3. Примеры решения задач………………………………………………………………….7

3. Мои исследования………………………………………………………………………………8-11

4. О «многоугольных числах» Диофанта………………………………………………11-14

5. Заключение ………………………………………………………………………………………..15

6. Список используемой литературы ……………………………………………………16

Введение.

Не много истории. О подробностях жизни Диофанта Александрийского практически ничего не известно. Диофант цитирует Гипсикла - II век до нашей эры, о Диофанте пишет Теон Александрийский - около 350 года нашей эры, можно предположить, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий - никто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III века нашей эры. Место жительства Диофанта хорошо известно – это знаменитая Александрия. Центр научной мысли эллинистического мира. В Палатинской антологии содержится эпиграмма–задача:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень.

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая. С подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской, возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Перевод)

Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант.

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Таким образом, Диофант прожил 84 года.*(Энциклопедический словарь юного математика. составитель – Москва: педагогика, 1989 г.)

При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие вопросы:

1. Имеет ли уравнение целочисленные решения;

2. Конечное, или бесконечное множество его целочисленных решений;

3. Решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения

4. Решить уравнение на множестве целых положительных чисел;

Поэтому мне представляется интересным самому исследовать на основе фактов представленных ранее «Диофантовы уравнения».

Отсюда целью моей работы является:

Исследовать варианты решения уравнений с одной неизвестной;

Исследовать варианты уравнений с двумя неизвестными;

Найти общие закономерности результатов решений поставленных задач.

Актуальность исследования обусловлена трудностями решения уравнений и задач на составление «Диофантовых уравнений»

Материал, представленный в данной работе, основывается на исследовании олимпиадных задачах и экзаменационных работах.

I . Диофант и его труды

Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в тринадцати книгах. К сожалению, до наших дней сохранились только шесть первых книг из тринадцати. «Арифметика» Диофанта – это сборник задач их всего 189, каждая из которых снабжена решением или несколькими способами решения и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач. Главная проблематика «Арифметики» – это нахождение положительных рациональных решений неопределенных уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков. Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных. Он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В X веке «Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама, Абу Камил и другие, продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к «Арифметике» возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из его в своей «Алгебре» (1572 года). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики», выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма, впрочем, в Новое время неопределенные уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Известны и другие сочинения Диофанта. Трактат «О многоугольных числах» сохранился не полностью. В сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем. Из сочинений Диофанта «Об измерении поверхностей» и «Об умножении» также сохранились лишь отрывки. Книга Диофанта «Поризмы» известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.*(Перельман математика. – Москва, 1962 г.)

Вывод: На основании вышеизложенного материала следует сделать вывод о том, что Диофант Александрийский не останавливается на одном решении, он старается обнаружить второе и последующее в поставленной задаче.

2. Решение Диофантовых уравнений.

2.1. Диофантовы уравнения с одним неизвестным.

где - целые числа.

Теорема. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем числа (свободного члена уравнения). Таким образом, при отыскании целых корней уравнения с целыми коэффициентами достаточно испытать лишь делители свободного члена.*(Приглашение в элементарную теорию чисел. , .)

Задача 1

Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители https://pandia.ru/text/78/308/images/image009_5.gif" width="92 height=23" height="23">.

Задача 2 . Решить в целых числах уравнение

2x4 + 7x3 - 12x2 - 38x + 21 = 0.

Решение . Свободный член уравнения имеет следующие делители

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что из этого множества только

число -3 является его целым корнем.

Ответ: х=-3.

2.2. Неопределенные уравнения II -ой степени вида x 2 + y 2 = z 2

Существует еще одна частная задача на неопределенные уравнения – теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте.

Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы (Рис. 1)

Рис. 1.

В точке С где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали колышек в точке В (СВ = 4) и натягивали веревку так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Мы, конечно, понимаем, что безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора. Действительно,

32 + 42 = 52..gif" width="85 height=24" height="24"> в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 … .

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 … .

А теперь внимание! Нет ли и в нижней строке квадратных чисел? Есть! Первое из них 9 = 32, над ним 16 = 42 и 25 = 52, знакомая нам тройка 3, 4, 5.

Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13 и т. д. Отсюда мы имеем право сформулировать такую теорему: Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов. Составлять такие строки – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Проверим что если - нечетное число, то и . Проверим также, что в этом случае равенство DIV_ADBLOCK443">

если https://pandia.ru/text/78/308/images/image019_2.gif" width="88" height="41 src=">.gif" width="37" height="18 src=">.gif" width="100" height="42 src="> - вторая тройка и т. д.*(Башмакова, и диофантовы уравнения– М.:«Наука», 1972г.)

2.3. Примеры решения задач.

Задача 1 .Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида: https://pandia.ru/text/78/308/images/image026_0.gif" width="63" height="21">, получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Первая система имеет решение https://pandia.ru/text/78/308/images/image030_0.gif" width="91" height="21">.

Ответ: .

Задача 2 . Доказать, что уравнение

Не имеет целых решений.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем данное уравнение в виде. 1 случай..gif" width="57" height="24 src=">, но это число не является целым. Значит, при у=0 данное уравнение не имеет целых решений. 2 случай. Пусть , тогда все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максиму четырёх различных множителей (33=1·3·11 или 33=-1·3·(-11)·1 и т. д.). Следовательно, при данное уравнение также не имеет целых решений.*(Новоселов курс элементарной алгебры. – М:Советская наука, 1956). Следует сделать вывод о том, что решения уравнений сводятся к нахождению натуральных чисел; с помощью «Пифагоровой тройки»

3. Мои исследования.

1. Найти все натуральные числа с, для которых уравнение Зх + 5у = с имеет решение в неотрицательных целых числах.

Ясно, что при с = 3,5, 6, 8, 9 уравнение Зх + 5 у = с имеет решение в неотрицательных числах х и у, а при с = 1, 2, 4, 7 таких решений уравнение не имеет. Заметим также, что если Зn + 5т = с, (n, m Є N), то 3(n +1) + 5т = с + 3, поэтому, так как 3*1 + 5*1 = 8, то уравнение Зх + 5у = с при с = 8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14, 17, 20, 23,... имеет решение. Аналогично, так как 3*3 = 9 и 5*2 = 10, то при с = 9, 9 + 3 = 12, 15, 18,... и при с = 10, 13, 16, 19,... уравнение Зх + 5 у = с имеет решение в неотрицательных целых числах. Но в последовательностях 8 + 3t, 9 + 3t, 10 + 3t, где t = 0,1, 2, 3,... содержатся все натуральные числа больше 7. Таким образом, при любом натуральном с > 1 уравнение Зх + 5 у = с имеет решение в неотрицательных целых числах х и у. Приведу еще один способ решения задания. Этот способ менее изощренный, чем ранее приведенный, но более универсальный. Состоит он в том, что сначала мы находим все целочисленные решения уравнения по формулам (1), а затем в силу неотрицательности х и у получаем некоторые ограничения на целочисленный параметр t. Итак, из 3*2 + 5*(-1) = 1 следует, 3*(2с) + 5*(-с) = с, то есть х0=2с и у0=-с. Откуда, по формулам (1) получаем х = 2с-5t, у = - с + 3t. Далее, из условий 2c-5t≥0 и - с+ 3t≥0 получаем t Є . Таким образом, для решения задачи нам надо указать все такие натуральные значения с, при которых отрезок содержит хотя бы одно целое число. Ясно, что если длина отрезка

2c/5 – c/3 = c/15 не менее единицы, то в нем обязательно содержится целое число. Отсюда следует, что при с ≥15 уравнение 3х +5у=с разрешимо в неотрицательных целых числах. Случаи, когда 1≤с≤14, можно легко проверить простым перебором. Найдем, что с Є {3;5;6;8;9;10;11;12;13;14}. Таким образом, получаем ответ: с Є {3;5;6} U {z Є Z │ z≥8 }.

2. Решить в целых числах уравнение:

Разделим 5 на -4 с «остатком», , преобразуем исходное уравнение к виду

Заменив https://pandia.ru/text/78/308/images/image041.gif" width="140" height="21 src=">, следовательно

DIV_ADBLOCK445">

Откуда 2х+у+7(3х-2у+z)=5. Полагая теперь и= 3х-2у+z, получаем уравнение: 2х+у+7и=5.

Таким образом, окончательно получаем: У= 5-2х-7и, z=10-7х-13и, где параметры х, и Є Z дают общее решение предположенного диофантова уравнения. Этот метод «наименьшего коэффициента» применим и для решения диофантовых уравнений вида ax+by=c.

4. Найти натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5- остаток 3.

Обозначим искомое число через х. Если частное от деления х на 3 обозначим через у, а частное от деления на 5 через z, то по теореме о делении с остатком получим х=3у+2, х=5z+3. Таким образом, нам надо решить в натуральных числах уравнение 5z-3у+1=0. Применяя описанный ранее алгоритм решения этого уравнения, получаем z=1+3t, y= 2+5t (t Є Z) и, значит, x=5z+3=5(2+3t)+3= 8+15t. Так как х по условию должен быть натуральным числом, то параметр t в ответе должен принимать только неотрицательные целые значения, т. е. Х=8+15t, t Є Z.

5. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?

Пусть х – число фломастеров, у – число карандашей, тогда по условию 7х+ 4у=53. Частное решение этого линейного диофантова уравнения есть: х=7, у=1. Тогда общее решение его имеет вид: х= 7-4t, y= 1+7t, t Є Z. Однако, так как по условию х> 0, y>0, то значениями параметра t могут быть лишь t=0 и t=1. При t=0 получаем х=7, у=1, а при t=1 имеем: х=3, у=8. Таким образом, решений два, т. е. возможны два варианта покупки фломастеров и карандашей на сумму 53 рубля.

6. Разность двух натуральных чисел равна 66, а их НОК равно 360. Найти эти числа.

Пусть а и b данные натуральные числа, тогда, по условию, имеем систему уравнений: Так как

а| 360, b | 360, то 360 = а*n, 360 = b*т, где n, m Є N. Отсюда получаем

https://pandia.ru/text/78/308/images/image045.gif" width="27" height="15">.gif" width="31" height="41 src=">, и, подставляя эти выражения в первое уравнение системы, приведя к общему знаменателю, имеем 60m-60n=11mn, откуда находим

Так как m>0 и n - натуральное число, причем n0, то перебором находим n=4, n=5, тогда m=15, m=60, а значит, https://pandia.ru/text/78/308/images/image054.gif" width="31" height="41 src=">.gif" width="31" height="41 src=">.gif" width="31" height="41 src=">.gif" width="31" height="41 src=">=6. Таким образом, получаем, что две пары чисел удовлетворяют условию задачи:

а=90, b=24 и a=72, b=6. *(Форков олимпиады в школе. – Москва: Айрис - пресс, 2003 г.)

Вывод: На основании проведенных мною исследований по Диофантовым уравнениям следует сделать вывод о том, что можно использовать различные подходы при их решении.

4. О «многоугольных числах» Диофанта

Каждое из возрастающих от единицы чисел, начиная с трех, является первым, начиная от единицы, называется многоугольником и имеет столько углов, сколько в нем содержится единиц, стороной же его будет число, которое следует за единицей, т. е. 2. Тогда 3 будет треугольником, 4 - четырехугольником, 5 - пятиугольником и т. д. О квадратах хорошо известно, что они получаются от умножения некоторого числа на самого себя. Доказывается также, что каждый многоугольник, умноженный на число, зависящее от количества его углов, и сложенный с квадратом некоторого числа, тоже зависящего от количества его углов, может быть представлен как некоторый квадрат. Если три числа имеют одинаковые разности, то восемь раз взятое произведение наибольшего и среднего, сложенное с квадратом наименьшего, будет квадратом, сторона которого равна сумме наибольшего и двух средних.

Действительно, пусть три числа АВ, В Г и ВД имеют одинаковые разности; нужно доказать, что 8АВ*ВГ, (сложенное с АВ2, образует квадрат, сторона которого равна сумме АВ и 2ВГ.

8АВ*ВГ разложим на 8ВГ2 и 8АГ*ВГ.) Затем каждое из упомянутых разделим пополам, получим 4АВ*ВГ, 4ВГ2 и 4АГ*ВГ т. е. 4ВГ*ГД, ибо АГ равно ГД; вместе же с ДВ2 получится АВ2 . Второе из произведений 4АГ-ГВ, сложенное с ДВ2, дает В А2. Теперь остается узнать, каким образом АВ2 вместе с 4АВ*ВГ и 4ВГ2 даст в сумме квадрат. Если мы положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ*ВГ преобразуется в 4ВА*АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ2 или с 4АЕ2, сделается равным 4ВЕ*ЕА (ВА*АЕ + АЕ2 = АЕ*(АЕ + АВ) = ВЕ*ЕА.), а оно, сложенное с АВ2, сделается равным квадрату на сумме BE и ЕА, как одной прямой (4ВЕ-ЕА + АВ2 = (BE + ЕА)2.). Но сумма BE и ЕА равна сумме АВ и 2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать. Если дано любое количество чисел с одинаковыми разностями, то разность между наибольшим и наименьшим равняется разности чисел, умноженной на уменьшенное, на единицу количество заданных чисел. Пусть даны любые числа АВ, ВГ, ВД, BE с одинаковыми разностями, нужно показать, что разность между

АВ и BE равна разности между АВ и ВГ, умноженной на количество АВ, ВГ, ВД, BE, уменьшенное на единицу.

Действительно, поскольку предполагается, что АВ, ВГ, ВД, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, ДЕ будут между собой равными. Следовательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, ДЕ; количество же АГ, ГД, ДЕ будет на единицу меньше количества АВ, ВГ, ВД, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, на единицу меньшее количества АВ, ВГ, В Д, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна общая разность. Простым же языком говоря, то существуют треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д.

Треугольные числа

https://pandia.ru/text/78/308/images/image064.gif" alt="\frac{n(n+1)}{2}" width="73" height="42">

Свойства:

· Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).

    Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Квадратные числа

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n².

Пятиугольные числа

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, *(Арифметика и книга о многоугольных числах. Перевод с древнегреческого)

Вывод: С помощью геометрической интерпретации, Диофант вывел формулы последовательностей многоугольных чисел, что вызывает интерес у математиков.

5. Заключение.

Диофант Александрийский, стремится свести решения от простого к сложному, основываясь на различных подходах к решению уравнений, а так же используя «Пифагоровы тройки».

В заключительной части своей работы мне особенно хотелось подчеркнуть, что изучив специальную литературу, посвященную диофантовым уравнениям, я расширил свои математические навыки и получил дополнительные знания о самом Диофанте, его последователях, а также о влиянии его научных трудов на дальнейшее развитие научной математической мысли. Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. И если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история Диофантова анализа показалась мне особенно интересной.

6. Список используемой литературы.

1. Арифметика и книга о многоугольных числах. Перевод с древнегреческого

2. Башмакова, и диофантовы уравнения– М.:«Наука», 1972г.

3. Задания городских и районных олимпиад.

4.Новоселов курс элементарной алгебры. – М:Советская наука, 1956

5. Перельман математика. – Москва, 1962 г.

6. Приглашение в элементарную теорию чисел. , .

7. Форков олимпиады в школе. – Москва: Айрис-пресс, 2003 г.

8.Черкасов. Интенсивный курс подготовки к экзамену.- М.: Рольф. 2000.

9.Энциклопедический словарь юного математика. Составитель – Москва: педагогика, 1989 г.