Применение интеграла.

Любое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, в качестве которых можно, например, брать молекулы. Пусть тело состоит из n материальных точек с массами m1, m2, ...mn.

Центром масс тела , состоящего из n материальных точек, называется точка (в геометрическом смысле), радиус-вектор которой определяется формулой :

Здесь R1 – радиус-вектор точки с номером i (i = 1, 2, ... n).

Это определение выглядит непривычно, но на самом деле оно даёт положение того самого центра масс, о котором у нас имеется интуитивное представление. Например, центр масс стержня будет находиться в его середине. Сумма масс всех точек, входящая в знаменатель вышеопределённой формулы, называется массой тела. Массой тела называется сумма масс всех его точек : m = m1 + m2 + ... + mn .

В симметричных однородных телах ЦМ всегда расположен в центре симметрии или лежит на оси симметрии, если у фигуры центра симметрии нет. Центр масс может находиться как внутри тела (диск, квадрат, треугольник), так и вне его (кольцо, рамка, угольник).

Для человека положение ЦМ зависит от принятой позы. Во многих видах спорта важным слагаемым успеха является способность сохранять равновесие. Так, в спортивной гимнастике, акробатике

большое количество элементов включат в себя разные виды равновесия. Важна способность сохранять равновесие в фигурном катании, в беге на коньках, где опора имеет очень малую площадь.

Условиями равновесия покоящегося тела являются одновременное равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил , действующих на тело.

Выясним, какое положение должна занимать ось вращения, чтобы закреплённое на ней тело оставалось в равновесии под действием сил тяжести. Для этого разобьём тело на множество маленьких кусочков и нарисуем действующие на них силы тяжести.

В соответствии с правилом моментов для равновесия необходимо, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно оси равнялась нулю.

Можно показать, что для каждого тела существует единственная точка, где сумма моментов сил тяжести относительно любой оси, проходящей через эту точку, равна нулю. Эта точка называется центром тяжести (обычно совпадает с центром масс).

Центром тяжести тела (ЦТ) называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующей на все частицы тела, равна нулю .

Таким образом, силы тяжести не вызывают вращения тела вокруг центра тяжести. Поэтому все силы тяжести можно было бы заменить единственной силой, которая приложена к этой точке и равна силе тяжести.

Для изучения движений тела спортсмена часто вводится термин общий центр тяжести (ОЦТ). Основные свойства центра тяжести:

Если тело закреплено на оси, проходящей через центр тяжести, то сила тяжести не будет вызывать его вращения;

Центр тяжести является точкой приложения силы тяжести;

В однородном поле центр тяжести совпадает с центром масс.

Равновесным называется такое положение тела, при котором оно может оставаться в покое сколь угодно долго. При отклонении тела от положения равновесия, силы, действующие на него, изменяются, и равновесие сил нарушается.

Существуют различные виды равновесия (рис. 9). Принято различать три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Устойчивое равновесие (рис. 9, а) характеризуется тем, что тело возвращается в первоначальное положение при его отклонении. В таком случае возникают силы, или моменты сил, стремящаяся возвратить тело в исходное положение. Примером может служить положение тела с верхней опорой (например, вис на перекладине), когда при любых отклонениях тело стремится возвратиться в начальное положение.

Безразличное равновесие (рис. 9, б) характеризуется тем, что при изменении положения тела не возникает сил или моментов сил, стремящихся возвратить тело в начальное положение или ещё более удалить тело от него. Это редко наблюдаемый у человека случай. Примером может служить состояние невесомости на космическом корабле.

Неустойчивое равновесие (рис. 9, в) наблюдается тогда, когда при малых отклонениях тела возникают силы или моменты сил, стремящихся ещё больше отклонить тело от начального положения. Такой случай можно наблюдать, когда человек, стоя на опоре очень малой площади (значительно меньшей площади его двух ног или даже одной ноги), отклоняется в сторону.

Рисунок 9. Равновесие тела : устойчивое (а), безразличное (б), неустойчивое (в)

Наряду с перечисленными видами равновесия тел в биомеханике рассматривают ещё один вид равновесия – ограниченно-устойчивое. Этот вид равновесия отличается тем, что тело может вернуться в начальное положение при отклонении от него до некоторого предела, например, определяемого границей площади опоры. Если же отклонение переходит этот предел, равновесие становится неустойчивым.

Основная задача при обеспечении равновесия тела человека состоит в том, чтобы проекция ОЦМ тела находилась в пределах площади опоры. В зависимости от вида деятельности (сохранение статического положения, ходьба, бег и т. п.) и требований к устойчивости частота и быстрота корригирующих воздействий изменяются, но процессы сохранения равновесия одинаковы.

Распределение массы в теле человека

Масса тела и массы отдельных сегментов очень важны для различных аспектов биомеханики. Во многих видах спорта необходимо знать распределение массы для выработки правильной техники выполнения упражнений. Для анализа движений тела человека используется метод сегментирования: оно условно рассекается на определённые сегменты. Для каждого сегмента определяются его масса и положение центра масс. В табл. 1 определены массы частей тела в относительных единицах.

Таблица 1. Массы частей тела в относительных единицах

Часто вместо понятия центра масс используют другое понятие – центр тяжести. В однородном поле тяжести центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Положение центра тяжести звена указывают как его расстояние от оси проксимального сустава и выражают относительно длины звена, принятой за единицу.

В табл. 2 приведены анатомическое положение центров тяжести различных звеньев тела.

Таблица 2. Центры тяжести частей тела

Центр масс это геометрическая точка находящаяся внутри тела, которая определяет распределение массы этого тела. Любое тело можно представить в виде суммы некоторого количества материальных точек. В этом случае положение центра масс определяет радиус вектор.

Формула 1 - Радиус вектора центра масс.

mi - масса итой точки.

ri - радиус вектор итой точки.

Если просуммировать массы всех материальных точек, то получится масса всего тела. На положение центра масс влияет однородность распределения массы по объему тела. Центр масс может находиться как внутри тела, так и за его приделами. Скажем у кольца, центр масс находится в центре окружности. Там где нет вещества. В общем, для симметричных тел обладающих однородным распределением массы центр масс всегда находится в центре симметрии или на ее оси.

Рисунок 1 - Центры массы симметричных тел.

Если к телу прикладывать некоторую силу, то оно начнет двигаться. Представьте себе кольцо, лежащее на поверхности стола. Если к нему приложить силу, а попросту начать толкать, то оно будет скользить по поверхности стола. А вот направление движения будет завесить от места приложения силы.

Если силу направить от внешнего края к центру, по перпендикуляру к внешней поверхности, то кольцо начнет прямолинейно двигаться по поверхности стола в направлении приложения силы. Если же силу приложить по касательной к внешнему радиусу кольца, то оно начнет поворачиваться относительно своего центра масс. Таким образом, можно заключить, что движение тела состоит из суммы поступательного движения и вращательного относительно центра масс. То есть движение любого тела можно описать движением материальной точки находящейся в центре масс и имеющей массу всего тела.

Рисунок 2 - Поступательное и вращательное движение кольца.

Существует также понятие центр тяжести. В общем, это не одно и то же что и центр масс. Центр тяжести это точка относительно, которой общий момент силы тяжести равен нулю. Если представить себе стержень длинной скажем 1 метр, диаметром 1см, и однородный по своему сечению. На концах стержня закреплены металлические шары одинаковой массы. То центр масс этого стержня будет находиться посередине. Если этот стержень поместить в неоднородное гравитационное поле, то центр тяжести будет смещён в сторону большей напряжённости поля.

Рисунок 3 - Тело в неоднородном и однородном гравитационном поле.

На поверхности земли, где сила тяжести однородна, центр масс практически совпадает с центром тяжести. Для любого постоянного однородного гравитационного поля центр тяжести всегда будет совпадать с центром масс.

Инструкция

Следует учитывать, что положение центра масс напрямую зависит от того, каким образом распределена по объему тела его масса. Центр масс может даже не находиться в самом теле, примером такого объекта может служить однородное кольцо, у которого центр масс находится в его геометрическом центре. То есть – . При расчетах центр масс можно расценивать математической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела.

Здесь R.ц.м. – радиус-вектор центра масс, mi – масса i-той точки, ri – радиус-вектор i-той точки системы. На практике во многих случаях легко найти центр масс, если предмет имеет некую строгую геометрическую форму. Например, у однородного стержня он находится точно посередине. У параллелограмма - на пересечении диагоналей, у треугольника это точка , а у правильного многоугольника центр масс находится в центре поворотной симметрии.

Для более сложных тел задача расчета усложняется, в этом случае необходимо разбить объект на однородные объемы. Для каждого из них отдельно центры масс, после чего найденные значения подставляются в соответствующие формулы и находится итоговое значение.

На практике необходимость определения центра масс (центра тяжести) обычно связана с конструкторскими работами. Например, при проектировании судна важно обеспечить его остойчивость. Если центр тяжести будет находиться очень , то может опрокинуться. Как рассчитать нужный параметр для такого сложного объекта, как судно? Для этого находятся центры тяжести его отдельных элементов и агрегатов, после чего найденные значения складываются с учетом их месторасположения. При конструировании центр тяжести обычно стараются расположить как можно ниже, поэтому наиболее тяжелые агрегаты располагают в самом низу.

Источники:

• Центр масс
• Решение задач по физике

Центр масс – важнейшая геометрическая и техническая характеристика тела. Без вычисления его координат невозможно представить конструирование в машиностроении, решение задач строительства и архитектуры. Точное определение координат центра массы производится с помощью интегрального исчисления.

Инструкция

Начинать всегда следует от , постепенно переходя к более сложным ситуациям. Исходите из того, что определению подлежит центр массы непрерывной плоской фигуры D, которой ρ постоянна и равномерно распределена в ее пределах. Аргумент х изменяется от а до b, y от c до d. Разбейте фигуру сеткой вертикальных (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) и горизонтальных прямых (y=y(j-1), y=xj (j=1,2,…,m)) на элементарные прямоугольники с основаниями ∆хi=xi-x(i-1) и высотами ∆yj=yj-y(j-1) (см. рис. 1). При этом середину элементарного отрезка ∆хi найдите как ξi=(1/2), а высоту ∆yj как ηj=(1/2). Поскольку плотность распределяется равномерно, то центр массы элементарного прямоугольника совпадет с ее геометрическим центром. То есть Хцi=ξi, Yцi=ηj.

Массу М плоской фигуры (если она неизвестна), вычислите как произведение на площадь. Замените элементарную площадь на ds=∆хi∆yj=dxdy. Представьте ∆mij в виде dM=ρdS=ρdxdy и получите ее массу по формуле, приведенной на рисунке. 2a. При малых приращениях считайте, что ∆mij, сосредоточена в материальной точке с координатами Хцi=ξi, Yцi=ηj. Из задач известно, что каждая координата центра масс системы материальных точек равна дроби, числитель которой сумму статических моментов масс mν относительно соответствующей оси, а равен сумме этих масс. Статический момент массы mν, относительно оси 0х равен уν*mν, а относительно 0у хν*mν.

Примените это к рассматриваемой ситуации и получите приблизительные значения статических моментов Јх и Ју в виде Ју≈{∑ξνρ∆xν∆yν}, Јх≈{∑ηνρ∆xν∆yν} (суммирование производилось по ν от 1 до N). Входящие в последнее выражения суммы являются интегральными. Перейдите к пределам от них при ∆хν→0 ∆yν→0 и запишите окончательные (см. рис. 2b). Координаты центра масс находите делением соответствующего статистического момента на общую массу фигуры М.

Методология получения координат центра масс пространственной фигуры G отличается лишь тем, что возникают тройные интегралы, а статические моменты рассматриваются относительно координатных плоскостей. Не следует забывать и что плотность не обязательно постоянна, то есть ρ(x,y,z)≠const. Поэтому окончательный и самйы общий имеет вид (см. рис. 3).

Источники:

• Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2., М.: 1976, 576 с., ил.

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном в 1666 году и опубликованный в 1687 году, гласит, что все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Математическая формулировка позволяет не только установить сам факт взаимного притяжения тел, но и измерить его силу.

Инструкция

Еще до Ньютона многие высказывали предположения о существовании всемирного тяготения. С самого начала им было очевидно, что притяжение между любыми двумя телами должно зависеть от их массы и ослабевать с расстоянием. Иоганн Кеплер, первым описавший эллиптические орбиты Солнечной системы, считал, что Солнце притягивает с силой, обратно пропорциональной расстоянию.

Окончательно закон всемирного тяготения формулируется так: любые два тела, обладающие массой, взаимно притягиваются, и сила их притяжения равна

F = G* ((m1*m2)/R^2),

где m1 и m2 - массы тел, R - расстояние , G - гравитационная постоянная.

Если тело, участвующее в тяготении, обладает приблизительно сферической формой, то расстояние R следует отмерять не от его поверхности, а от центра масс. Материальная точка с той же массой, находящаяся точно в центре, порождала бы точно такую же силу притяжения.

В частности, это значит, что, например, при расчете силы, с которой Земля притягивает стоящего на ней , расстояние R равно не нулю, а радиусу . На самом деле оно равно расстоянию между центром Земли и центром тяжести человека, но этой разницей можно пренебречь без потери точности.

Гравитационное притяжение всегда взаимно: не только Земля притягивает человека, но , в свою очередь, притягивает Землю. Из-за огромной разницы между массой человека планеты это незаметно. Аналогично и при расчетах траекторий космических аппаратов обычно пренебрегают тем, что аппарат притягивает к себе планеты и кометы.

Однако если массы взаимодействующих объектов сравнимы, то их взаимное притяжение становится заметным для всех участников. Например, с точки зрения физики не вполне верно говорить, что Луна вращается вокруг Земли. В действительности Луна и Земля вращаются вокруг общего центра масс. Поскольку наша планета намного больше своего естественного , то этот центр находится внутри нее, но все же с центром самой Земли не совпадает.

Видео по теме

Источники:

• Классная физика для любознательных - закон всемирного тяготения

Математика и физика, возможно, самые удивительные науки из доступных человеку. Описывая мир через вполне определенные и поддающиеся расчету законы, ученые могут «на кончике пера» получить значения, измерить которые, на первый взгляд, кажется невозможным.

Инструкция

Один из базовых законов физики – закон всемирного тяготения. Он гласит, что все тела притягиваются друг к другу с силой, равной F=G*m1*m2/r^2. При этом G является определенной константой (будет указана непосредственно во время расчета), m1 и m2 массы тел, а r –расстояние между ними.

Массу Земли можно вычислить на основе эксперимента. При помощи маятника и секундомера можно рассчитать ускорение свободного падения g (шаг будет опущен за несущественностью), равное 10 м/c^2. Согласно второму закону Ньютона F можно представить как m*a. Поэтому, для тела, притягивающегося к Земле: m2*a2=G*m1*m2/r^2, где m2 – масса тела, m1 – масса Земли, a2=g. После преобразований (сокращения m2 в обеих частях, переноса m1 влево, а a2 - вправо) уравнение примет следующий вид: m1=(ar)^2/G. Подстановка значений дает m1=6*10^27

Расчет массы Луны опирается на правило: от тел до центра масс системы обратно пропорциональны массам тел. Известно, что Земля и Луна обращаются вокруг некоторой точки (Цм), причем расстояния от центров до этой точки как 1/81,3. Отсюда Мл=Мз/81,3=7.35*10^25.

Дальнейшие вычисления опираются на 3-ий закон Кепплера, согласно которому (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, где T – период обращения небесного тела вокруг Солнца , L – расстояние до последнего, M1, M2 и Mc – массы двух небесных тел и , соответственно. Составив уравнения для двух систем ( +луна – / земля - луна) можно увидеть, что одна часть уравнения получается общей, а значит, вторые можно приравнять.

Расчетной формулой в наиболее общем виде является Lз^3/(Tз^2*(Mc+Мз)=Lл^3/(Tл^2*(Mз+Мл). Массы небесных тел были вычислены теоретически, периоды обращения находятся практически, для расчета L используются исчисления либо практические методы. После упрощения и подстановки необходимых значений уравнение примет вид: Мс/Мз+Мл=329.390. Отсюда Мс=3,3*10^33.

Кинетическая энергия – это энергия механической системы, которая зависит от скоростей движения каждой из ее точек. Другими словами, кинетическая энергия представляет собой разницу между полной энергией и энергией покоя рассматриваемой системы, та часть полной энергии системы, которая обусловлена движением. Кинетическая энергия делится на энергию поступательного и вращательного движения. Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является Джоуль.

Инструкция

В случае поступательного движения все точки системы (тела) имеют одинаковые скорости движения, которые равны скорости движения центра масс тела. При этом кинетическая системы Тпост равна:
Tпост = ? (mk Vс2)/2,
где mk –масса тела, Vс – центра масс.Таким образом, при поступательном тела кинетическая энергия равна произведению массы тела на квадрат скорости центра масс, деленному на два. При этом значение кинетической не зависит от движения.

Нарисуйте схему системы и отметьте на ней центр тяжести. Если найденный центр тяжести находится вне системы объектов, вы получили неверный ответ. Возможно, вы измерили расстояния от разных точек отсчета. Повторите измерения.

• Например, если на качелях сидят дети, центр тяжести будет где-то между детьми, а не справа или слева от качелей. Также центр тяжести никогда не совпадет с точкой, где сидит ребенок.
• Эти рассуждения верны в двумерном пространстве. Нарисуйте квадрат, в котором поместятся все объекты системы. Центр тяжести должен находиться внутри этого квадрата.

Проверьте математические вычисления, если вы получили маленький результат. Если точка отсчета находится на одном конце системы, маленький результат помещает центр тяжести возле конца системы. Возможно, это правильный ответ, но в подавляющем большинстве случаев такой результат указывает на ошибку. Когда вы вычисляли моменты, вы перемножали соответствующие веса и расстояния? Если вместо умножения вы сложили веса и расстояния, вы получите гораздо меньший результат.

Исправьте ошибку, если вы нашли несколько центров тяжести. Каждая система имеет только один центр тяжести. Если вы нашли несколько центров тяжести, скорее всего, вы не сложили все моменты. Центр тяжести равен отношению «суммарного» момента к «суммарному» весу. Не нужно делить «каждый» момент на «каждый» вес: так вы найдете положение каждого объекта.

Урок «Центр масс»

Регламент: 2 урока

Цель: Познакомить учащихся с понятием «центр масс» и его свойствами.

Оборудование: фигуры из картона или фанеры, «неваляшка», перочинный нож, карандаши.

План урока

Этапы урока время методы и приемы

I Введение учащихся 10 фронтальный опрос, работа учащихся у доски.

в проблему урока

II. Изучение нового 15-20 Рассказ учителя, решение задачи,

материала: 10 экспериментальное задание

III Отработка нового 10 сообщения учащихся

материала: 10-15 решение задач,

15 фронтальный опрос

IV.Выводы. Домашнее 5-10 Устное обобщение материала учителем.

задание Запись на доске

Ход урока.

I Повторение 1. Фронтальный опрос: плечо силы, момент силы, условие равновесия, виды равновесия

Эпиграф: Центром тяжести каждого тела является некоторая располо-женная внутри его точка - такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первона-чальное положение.

II . Объяснение нового материала

Пусть дано тело или система тел. Мысленно разобьем тело на сколь угодно малые части с массами m1, m2, m3… Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве i-ой материальной точки с массой mi определяется радиус-вектором r i (рис. 1.1). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: т = ∑ mi.

Центром масс тела (системы тел) называет-ся такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле

r = 1/m∙∑ mi r i

Можно показать, что положение центра масс относительно тела не за-висит от выбора начала координат О, т.е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.

Центр масс однородных симметричных тел рас-положен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересече-нии его медиан.

Решение задачи

ЗАДАЧА 1. На легком стержне (рис. 1.2) закреплены однородные ша-ры массами m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, и m4 = 3 кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров

а = 10 см. Найти положе-ние центра тяжести и центра масс конструкции.

РЕШЕНИЕ. Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для ре-шения задачи удобно располо-жить стержень горизонтально, как показано на рисунке 2. Пусть центр тяжести находится на стержне на расстоянии L от центра левого шара, т.е. от т. А. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести и ее момент относительно оси А равен сумме моментов сил тяжести шаров. Имеем r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,

R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а.

Отсюда L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см

ОТВЕТ. Центр тяжести совпадает с центром масс и находится, в точке С на расстоянии L=16,4см от центра левого шара.

Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд за-мечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса все-го тела была сосредоточена в нем.

Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, на-зывают точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, дейст-вующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тя-жести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тя-жести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и нее силы тя-жести, действующие на отдельные части тела.

Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Зем-ли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т.е. тело находится в однородном поле тяжести. У парал-лельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определенном положении тела в простран-стве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка ее приложения останется пока неопреде-ленной, т.к. для твердого тела любую силу можно переносить вдоль ли-нии ее действия. Как же быть с точкой приложения?

Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести, линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действу-ющих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, не-подвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равно-действующая, а сама точка будет центром тяжести тела.

Положение центра тяжести относительно тела зависит только от фор-мы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в са-мом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.

В однородном поле тяжести центр тяжести те-ла совпадает с его центром масс.

В подавляющем боль-шинстве случаев один термин безбо-лезненно можно заменять другим.

Но: центр масс тела су-ществует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести мож-но говорить только при наличии силы тяжести.

Местоположение центра тяжести тела, а значит и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.

Если плечо силы равно нулю, то момент силы равен нулю и такая сила не вызывает вращательного движения тела.

Следовательно, если линия действия силы проходит через центр масс, то оно движется поступательно.

Таким образом, можно определить центр масс любой плоской фигуры. Для этого надо закрепить ее в одной точке, дав ей возможность свободно поворачиваться. Она установится так, чтобы сила тяжести, поворачивающая ее, проходила через центр масс. В точке закрепления фигуры подвесим нить с грузом (гайкой), проведем линию вдоль подвеса (т.е. линию действия силы тяжести). Повторим действия, закрепив фигуру в другой точке. Пересечение линий действия сил тяжести - центр масс тела

Экспериментальное задание: определить центр тяжести плоской фигуры (по приготовленным ранее учащимися фигурам из картона или фанеры).

Инструкция: закрепляем фигурку на штативе. Подвешиваем за один из углов фигуры отвес. Проводим линию действия силы тяжести. Поворачиваем фигуру, повторяем действие. Центр масс лежит в точке пересечения линий действия силы тяжести.

Быстро справившимся с заданием учащимся можно дать дополнительное задание: прикрепить к фигуре груз (металлический болт) и определить новое положение центра масс. Сделать вывод.

Изучение замечательных свойств «центров», которому более двух тыся-челетий, оказалось полезным не толь-ко для механики - например, при конструировании транспортных средств и военной техники, расчете устойчивости сооружений или для вывода уравнений движения реактив-ных аппаратов. Вряд ли Архимед мог даже помыслить о том, что поня-тие центра масс окажется весьма удоб-ным для исследований в ядерной фи-зике или в физике элементарных час-тиц.

Сообщения учащихся:

В своем труде «О равновесии плос-ких тел» Архимед употреблял понятие центра тяжести, фактически не опре-деляя его. Видимо, оно впервые было введено неизвестным предшественни-ком Архимеда или же им самим, но в более ранней, не дошедшей до нас работе.

Должно было пройти долгих сем-надцать столетий, прежде чем наука прибавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести новые результаты. Это произошло, когда Леонардо да Винчи сумел найти центр тяжести тет-раэдра. Он же, размышляя об устойчи-вости итальянских наклонных башен, в том числе - Пизанской, пришел к «теореме об опорном многоугольни-ке».

Выясненные еще Архимедом усло-вия равновесия плавающих тел впос-ледствии пришлось переоткрывать. Занимался этим в конце XVI века: голландский ученый Симон Стевин, применявший, наряду с понятием цен-тра тяжести, и понятие «центр давле-ния» - точку приложения силы давле-ния окружающей тело воды.

Прин-цип Торричелли (а его имя носят и формулы для расчета центра масс), оказывается, был предвосхищен его учителем Галилеем. В свою очередь, этот принцип лег в основу классичес-кого труда Гюйгенса о маятниковых часах, а также был использован в знаменитых гидростатических иссле-дованиях Паскаля.

Метод, позволивший Эйлеру изу-чать движение твердого тела под дей-ствием любых сил, состоял в разложе-нии этого движения на перемещение центра масс тела и вращение вокруг проходящих через него осей.

Для сохранения в неизменном по-ложении предметов при движении их опоры уже несколько столетий приме-няется так называемый карданов под-вес - устройство, в котором центр тяжести тела располагают ниже осей, вокруг которых оно может вращаться. Примером может служить корабельная керосиновая лампа.

Хотя на Луне сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле, увеличить там рекорд по прыжкам в высоту уда-лось бы «всего» лишь в четыре раза. К такому выводу приводят расчеты по изменению высоты центра тяжести тела спортсмена.

Помимо суточного вращения вок-руг своей оси и годового обращения вокруг Солнца, Земля принимает уча-стие еще в одном круговом движении. Вместе с Луной она «крутится» вокруг общего центра масс, расположенного примерно в 4700 километрах от центра Земли.

Некоторые искусственные спутни-ки Земли снабжены складной штангой в несколько или даже в десятки мет-ров, утяжеленной на конце (так назы-ваемый гравитационный стабилиза-тор). Дело в том, что спутник вытяну-той формы стремится при движении по орбите повернуться вокруг своего центра масс так, чтобы его продольная ось расположилась вертикально. Тог-да он, подобно Луне, будет все время обращен к Земле одной стороной.

Наблюдения за движением неко-торых видимых звезд свидетельству-ют о том, что они входят в двойные системы, в которых происходит вра-щение «небесных партнеров» вокруг общего центра масс. Одним из невиди-мых компаньонов в такой системе мо-жет быть нейтронная звезда или, воз-можно, черная дыра.

Объяснение учителя

Теорема о центре масс: центр масс те-ла может изменить свое положение только под действием внешних сил.

Следствие теоремы о центре масс: центр масс замкнутой системы тел остается неподвижным при любых взаимодействиях тел системы.

Решение задачи (у доски)

ЗАДАЧА 2. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние h сдви-нется лодка, если масса человека m= 60кг, масса лодки М = 120кг, длина лодки L=3м? Сопротивлением воды пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся условием задачи, что начальная скорость центра масс равна нулю (лодка и человек вначале покоились) и сопротивление воды отсутствует (никакие внешние силы в горизонтальном направлении на систему «человек-лодка» не действуют). Следователь-но, координата центра масс системы в горизонтальном направлении не изменилась. На рис.3 изображено начальное и конечное положение лодки и человека. Начальная координата х0 центра масс х0 = (mL+ML/2)/(m+M)

Конечная координата х центра масс х = (mh+M(h+L/2))/(m+M)

Приравнивая х0 = х, находим h= mL/(m+M) =1м

Дополнительно: сборник задач Степановой Г.Н. №393

Объяснение учителя

Вспоминая условия равновесия, мы выяснили, что

Для тел, имеющих площадь опоры, устойчивое равновесие наблюдается в том случае, когда линия действия силы тяжести проходит через основание.

Следствие: чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести, тем устойчивее положение равновесия.

Демонстрация

Поставьте детскую игрушку неваляш-ку (Ваньку - Встаньку) на шерохова-тую доску и приподнимите правый край доски. В какую сторону откло-нится «голова» игрушки при сохране-нии ее равновесия?

Объяснение: Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности «туловища». В положе-нии равновесия точка С и точка касания А игрушки с на-клонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно «голова» неваляшки отклонится влево

Как объяснить сохранение рав-новесия в случае, показанном на ри-сунке?

Объяснение: Центр тяжести системы карандаш - нож лежит ниже точ-ки опоры

III Закрепление. Фронтальный опрос

Вопросы и задачи

1. При перемещении тела с экватора на полюс действующая на него сила тяжести меняется. Отражается ли это на положении центра тяжести тела?

Ответ: нет, т.к. относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы.

2. Можно ли найти центр тяжести «гантели», состоящей из двух массив-ных шариков, соединенных невесо-мым стержнем, при условии, что дли-на «гантели» сравнима с диаметром Земли?

Ответ: нет. Условие существования центра тяжести - однород-ность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты «гантели» вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2, равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки

3. Почему при резком торможении автомобиля его передняя часть опус-кается?

Ответ: при торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля.

4. Где находится центр тяжести буб-лика?

Ответ: в дырке!

5. В цилиндрический стакан понем-ногу наливают воду. Как будет изме-няться положение центра тяжести си-стемы стакан - вода?

Ответ: Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом - повышаться.

6. Какой длины конец надо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на ∆ℓ?

Ответ: длиной 2∆ℓ.

7. Однородный стержень согну-ли посередине под прямым углом. Где оказался теперь его центр тяжес-ти?

Ответ: в точке О — середине отрезка О1О2, соединяющего сере-дины участков АВ и ВС стержня

9. Неподвижная космическая ста-ция представляет собой цилиндр. Космонавт начинает круговой обход ста-ции по ее поверхности. Что произойдет со станцией?

Ответ: с танция придет во вращение в противоположную сторо-ну, причем ее центр будет описывать окружность вокруг об-щего с космонавтом центра масс.

11. Почему трудно передвигаться на ходулях?

Ответ: центр тяжести человека на ходулях значительно повыша-ется, а площадь его опоры на землю уменьшается.

12. Когда канатоходцу легче удер-жать равновесие - при обычном пере-движении по канату или при переносе сильно изогнутого коромысла, нагру-женного ведрами с водой?

Ответ: Во втором случае, так как центр масс канатоходца с вед-рами лежит ниже, т.е. ближе к опоре - канату.

IV Домашнее задание: (выполняется желающими - задачи трудные, решившие их получают "5").

*1. Найдите центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, изображенного на рисунке

Ответ: центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m

*2. Глубина лунки в доске, в кото-рую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле накло-на доски к горизонту шар выскочит из лунки?