Тест «Перпендикулярные прямые в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости
Например, перпендикулярность прямых m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} записывают как m ⊥ n {\displaystyle m\perp n} .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ 10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскости
✪ стереометрия ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости
✪ Перпендикулярность прямой и плоскости. Геометрия 10-11 классы. Урок 7
✪ стереометрия ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ
✪ 10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространстве
Субтитры
На плоскости
Перпендикулярные прямые на плоскости
В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями y = tg α 1 x + b 1 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{1}x+b_{1}} и y = tg α 2 x + b 2 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{2}x+b_{2}} будут перпендикулярны, если выполнено условие α 2 = 1 2 π + α 1 {\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}\pi +\alpha _{1}} . Эти же прямые будут перпендикулярны, если tg α 1 tg α 2 = − 1 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}=-1} . (Здесь α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} - углы наклона прямой к горизонтали)
Построение перпендикуляра
Шаг 1: (красный ) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А" и В".
Шаг 2: (зелёный ) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A" и В" соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: (синий ) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.
Координаты точки основания перпендикуляра к прямой
A (x a , y a) {\displaystyle A(x_{a},y_{a})} и B (x b , y b) {\displaystyle B(x_{b},y_{b})} - прямая, O (x o , y o) {\displaystyle O(x_{o},y_{o})} - основание перпендикуляра, опущенного из точки P (x p , y p) {\displaystyle P(x_{p},y_{p})} .
Если x a = x b {\displaystyle x_{a}=x_{b}} (вертикаль), то x o = x a {\displaystyle x_{o}=x_{a}} и y o = y p {\displaystyle y_{o}=y_{p}} . Если y a = y b {\displaystyle y_{a}=y_{b}} (горизонталь), то x o = x p {\displaystyle x_{o}=x_{p}} и y o = y a {\displaystyle y_{o}=y_{a}} .
Во всех остальных случаях:
x o = x a ⋅ (y b − y a) 2 + x p ⋅ (x b − x a) 2 + (x b − x a) ⋅ (y b − y a) ⋅ (y p − y a) (y b − y a) 2 + (x b − x a) 2 {\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}} ; y o = (x b − x a) ⋅ (x p − x o) (y b − y a) + y p {\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}} .В трёхмерном пространстве
Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямой к плоскости
Определение : Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак : Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Плоскость , перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Перпендикулярные плоскости
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
В многомерных пространствах
Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.
Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t . Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно (4 2) = 6 {\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6} : xy , xz , xt , yz , yt , zt , и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz , yz и zt ), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt , yz и xt ).
Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
Пусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство
W
n
{\displaystyle W^{n}}
, а прямая l
L
1
{\displaystyle L^{1}}
и гиперплоскость с направляющим векторным пространством (где
L
1
⊂
W
n
{\displaystyle L_{1}\subset W^{n}}
,
L
k
⊂
W
n
,
k
<
n
{\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k
Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Π k {\displaystyle \Pi _{k}} , если подпространство L 1 {\displaystyle L_{1}} ортогонально подпространству L k {\displaystyle L^{k}} , то есть (∀ a → ∈ L 1) (∀ b → ∈ L k) a → b → = 0 {\displaystyle (\forall {\vec {a}}\in L_{1})\ (\forall {\vec {b}}\in L_{k})\ {\vec {a}}{\vec {b}}=0}
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .
рис. 37 |
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а. |
рис. 38 |
Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость . |
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Замечания.
- Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.
- Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
- Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.
Задачи и тесты по теме "Тема 5. "Перпендикулярность прямой и плоскости"."
- Перпендикулярность прямой и плоскости
- Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
- Параллельность прямых, прямой и плоскости
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.
Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.
13.11.2016 14:35
Тестовые задания по геометрии к разделу "Прямые и плоскости в пространстве"1.Аксиомы стереометрии. 2.Параллельность прямых и плоскостей. 3.Перпендикулярность прямых и плоскостей. Ответы в конце разработки
Просмотр содержимого документа
«Тестовые задания по геометрии к разделу "Прямые и плоскости в пространстве" 1 курс СПО»
Раздел № 3. Прямые и плоскости в пространстве |
Предмет стереометрии. Основные понятия и аксиомы стереометрии. Пространственные фигуры. |
Параллельность прямыхв пространстве. Параллельность двух плоскостей. |
Векторы в пространстве. Параллельный перенос. |
Сечение многогранников. |
Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости. |
Перпендикуляр и наклонная. |
Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. |
Аксиомы стереометрии
Вариант 1
1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC |
|
Каким плоскостям принадлежит точка К? 1) АВС и ABD |
|
Выберите верные высказывания: 1) Любые три точки лежат в одной плоскости. 2) Если центр окружности и ее точка лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 3) Через три точки, лежащих на прямой, проходит только одна плоскость. 4) Через две пересекающихся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Ответ: ______ |
|
Выберите неверные высказывания: 1) Если три прямые имеют общую точку, то они лежат в одной плоскости. 3) Две плоскости могут имеет только две общие точки. 4) Три попарно пересекающиеся в разных точках прямые, лежат в одной плоскости. Ответ: ______ |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости A 1 BC и A 1 AD. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC 1 и A 1 AD. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через прямую АВ проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью ВСD. 1) АС 2) АB 3) BС 4) ВD |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через точки В и D проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью AСD. 1) АС 2) АB 3) BС 4) ВD |
|
Вариант 2
Точка Р лежит на прямой МN. Назовите плоскость, которой принадлежит точка Р. 1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC |
|
Каким плоскостям принадлежит точка F? 1) АВС и ACD |
|
Выберите верные высказывания: 1) Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость. 3) Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 4) Две плоскости могут иметь только одну общую точку. Ответ: ______ |
|
Выберите неверные высказывания: 1) Две окружности, имеющие общий центр, лежат в одной плоскости. 3) Три вершины треугольника принадлежат одной плоскости. 4) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Ответ: ______ |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC 1 и A 1 BC. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и C 1 CB. 1) BC 2) B 1 C 1 3) A 1 B 4) B 1 B |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через прямую CD проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью AВС. 1) СD 2) АD 3) BС 4) ВD |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через точки A и D проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью BСD. 1) АС 2) АD 3) BС 4) ВD |
|
Вариант 1
Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FBC. 1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК |
|
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости A 1 B 1 C 1 ? 1) а 2) b 3) p 4) m |
|
В тетраэдре DАВС ВК = КС, DP = PC. Плоскости какой грани параллельна прямая РК? 1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC |
|
Выберите верные высказывания: 1) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются. 2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо так же ей параллельна, либо лежит в этой плоскости. 3) Существует такая прямая, которая лежит в плоскости и параллельна прямой, пересекающей данную плоскость. 4) Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Ответ: ______ |
|
1) a || n 2) a || b 3) b || c 4) a || c |
|
верные
высказывания: 1) Прямые СD и MN скрещивающиеся. 2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости. 3) Прямые СD и MN пересекаются. 4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся. Ответ: ______ |
|
1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Треугольники АВК и АВF расположены так, что прямые АВ и FK скрещиваются. Как расположены прямые АК и ВF? |
|
В тетраэдре DАВС АВ = ВС = АС = 20; DA = DB = DC = 40. Через середину ребра АС плоскость, параллельная АD и ВC. Найдите периметр сечения. Ответ: ____ |
Параллельность прямых и плоскостей
Вариант 2
Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FАB. 1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК |
|
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости A 1 AD? 1) а 2) b 3) p 4) m |
|
В тетраэдре DАВС AM = MD, AN = NB. Плоскости какой грани параллельна прямая MN? 1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC |
|
Выберите верные высказывания: 1) Параллельные прямые не имеют общих точек. 2) Если прямая параллельна данной плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. 3) Если прямая параллельна линии пересечения двух плоскостей и не принадлежит ни одной из них, то она параллельна каждой из этих плоскостей. 4) Существует параллелепипед, у которого все углы граней острые. Ответ: ______ |
|
Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Назовите параллельные прямые. 1) a || n 2) a || b 3) b || c 4) a || c |
|
Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные
высказывания: 1) Прямые СD и MN пересекаются. 2) Прямые АВ и MN скрещивающиеся 3) Прямые АВ и СD параллельные. 4) Прямые АВ и MN пересекаются Ответ: ______ |
|
Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Два равнобедренных треугольника АВС и АВD с общим основанием АВ расположены так, что точка С не лежит в плоскости АВD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам ВС и ВD. 1) они параллельны 2) скрещиваются 3) пересекаются |
|
В тетраэдре DАВС АВ = ВС = АС = 10; DA = DB = DC = 20. Через середину ребра ВС плоскость, параллельная АС и ВD. Найдите периметр сечения. Ответ: ____ |
Вариант 1
Через сторону АВ треугольника АВС проведена плоскость, перпендикулярная к стороне ВС. Определите вид треугольника относительно углов. |
|
Треугольник АВС – правильный, О – центр треугольника. Расстояние от точки М до вершины А равно 3. Найдите высоту треугольника. Ответ: ____ |
|
АВСD – параллелограмм; Найдите периметр параллелограмма. 1) 20 2) 25 3) 40 4) 60 |
|
Через вершину А треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная ВС. Расстояние от ВС до плоскости α равно 12. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника АВС до этой плоскости. 1) 8 2) 6 3) 12 4) 18 |
|
Высота ромба равна 12. Точка М равноудалена от всех сторон ромба и находится на расстоянии, равном 8, от его плоскости. Чему равно расстояние точки М до сторон ромба? Ответ: ____ |
|
Выберите верные высказывания: 2) Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны. 3) Длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки. 4) Две скрещивающиеся прямые могут быть перпендикулярными к одной плоскости. Ответ: ______ |
|
Отрезок АВ упирается концами А и В в грани прямого двугранного угла. Расстояния от точек А и В до ребра равны 1, а длина отрезка АВ равна 3. Найдите длину проекции этого отрезка на ребро. |
|
В тетраэдре DABC АО пресекает ВС в точке Е; Найдите. |
|
Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите угол MCD. |
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Вариант 2
Через сторону АD параллелограмма АВСD, проведена плоскость, перпендикулярная к стороне DС. Определите вид треугольника АВС. 1) остроугольный 2) прямоугольный 3) тупоугольный |
|
Треугольник АВС – правильный, О – центр треугольника. Высота треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. Ответ: ____ |
|
АВСD – параллелограмм; Найдите BD. 1) 20 2) 15 3) 40 4) 10 |
|
Через вершину А треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная ВС. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника АВС до этой плоскости равно 4. На каком расстоянии от плоскости находится ВС? 1) 8 2) 6 3) 12 4) 14 |
|
Точка Р удалена от всех сторон ромба на расстояние» равное, и находится от его плоскости на расстоянии равном 2. Чему равна сторона ромба, если его угол 30°? Ответ: ____ |
|
На рисунке Найдите угол между МС и плоскостью АМВ. 1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0 |
|
Выберите верные высказывания: 1) Угол между прямой и плоскостью может быть не больше 90 0 . 2) Две плоскости, перпендикулярные к одной прямой, пересекаются. 3) Длина перпендикуляра больше длины наклонной, проведенной из той же точки. 4) Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше любого из ребер. Ответ: ______ |
|
Отрезок АВ упирается концами А и В в грани прямого двугранного угла. Расстояния от точек А и В до ребра равны 2, а длина отрезка АВ равна 4. Найдите длину проекции этого отрезка на ребро. |
|
В тетраэдре DABC основание ABC - правильный треугольник. Вершина D проецируется в его центр О. Найдите угол между плоскостью ADO и гранью DCB. 1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0 |
|
Треугольник АМВ и прямоугольник ABCD расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите угол MAD. 1) 90 0 2) 60 0 3) 30 0 4) 45 0 |
Тест 1
Вариант 1 | ||||||||||
Вариант 2 |
Тест 2
Вариант 1 | ||||||||||
Вариант 2 |
Тест 3
Вариант 1 | ||||||||||
Вариант 2 |
1. Найдите угол между пересекающимися диагоналями граней куба.
2. В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AD 1 и CB 1 .
3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в одном диагональном сечении.
1) 45 0 и 45 0 .
2) 90 0 и 90 0 .
3) 30 0 и 60 0 .
4) 60 0 и 120 0 .
4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в разных диагональных сечениях.
1) 45 0 и 135 0 .
2) 90 0 и 90 0 .
3) 30 0 и 150 0 .
4) 60 0 и 120 0 .
5. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильной треугольной пирамиды.
6. Из точки, не принадлежащей плоскости опущен на нее перпендикуляр и проведена наклонная. Найдите проекцию наклонной, если перпендикуляр равен 12 см, а наклонная 15 см.
7. Найдите геометрическое место прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через данную на ней точку.
2) Плоскость, перпендикулярная данной прямой.
3) Плоскость, параллельная данной прямой.
4) Плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку.
8. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.
1) Перпендикуляр, проведенный к середине отрезка, соединяющего данные точки.
3) Плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через данные точки.
4) Плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему данные точки и проходящая через его середину.
9. Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Зная, что их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами 32,5 см, найдите наклонную.
10. Концы отрезка находятся от данной плоскости на расстоянии 26 см и 37 см. Его ортогональная проекция на плоскость равна 6 дм. Найдите отрезок.
11. Один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости, а другой наклонен к ней под углом 45 0 . Найдите угол между гипотенузой этого треугольника и данной плоскостью.
12. Найдите угол наклона отрезка к плоскости, если его ортогональная проекция на эту плоскость в два раза меньше самого отрезка.
13. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех точек окружности.
1) Центр окружности.
2) Окружность.
3) Плоскость, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.
14. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех сторон ромба.
1) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через его вершину.
2) Плоскость, перпендикулярная к плоскости ромба и проходящая через его диагональ.
3) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через точку пересечения его диагоналей.
4) Окружность, вписанная в ромб.
15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна a , боковое ребро b .
3) .
16. Найдите двугранный угол j между боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.
17. Точка A находится от одной из двух перпендикулярных плоскостей на расстоянии 4 см, а от другой на 16 см. Найдите расстояние от точки A до линии пересечения плоскостей.
18. Найдите двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 2 см, а сторона основания 4 см.
19. Точка B , удаленная от ребра двугранного угла на расстояние a , отстоит от каждой его грани на одинаковое расстояние. Найдите это расстояние, если двугранный угол равен j.
1) a sinj.
2) a cosj.
3) a sin .
4) a cos .
20. Точка E принадлежит плоскости a, точка F принадлежит плоскости b. Плоскости перпендикулярны. Ортогональные проекции отрезка EF , равного 10 см, на плоскости a и b соответственно равны 8 см и 7,5 см. Найдите проекцию отрезка EF на линию пересечения плоскостей a и a.
ОТВЕТЫ
Номер задания | Номер теста | |||||||
4) | 3) | 3) | 4) | 4) | 2) | 1) | ||
4) | 3) | 4) | 3) | 3) | 1) | 2) | ||
2) | 4) | 2) | 3) | 4) | 1) | 4) | ||
4) | 1) | 4) | 3) | 2) | 3) | 3) | ||
2) | 1) | 4) | 3) | 3) | 4) | 3) | ||
2) | 2) | 2) | 2) | 3) | 4) | 3) | ||
4) | 3) | 4) | 2) | 1) | 4) | 4) | ||
4) | 2) | 4) | 2) | 2) | 3) | 2) | ||
3) | 3) | 3) | 1) | 4) | 3) | 3) | ||
1) | 4) | 1) | 4) | 3) | 3) | 4) | ||
3) | 1) | 2) | 2) | 2) | 3) | 3) | ||
2) | 2) | 3) | 3) | 1) | 2) | 1) | ||
2) | 3) | 4) | 4) | 4) | 4) | 3) | ||
4) | 4) | 3) | 3) | 2) | 3) | 4) | ||
3) | 4) | 3) | 2) | 1) | 2) | 4) | ||
3) | 2) | 2) | 2) | 4) | 3) | 3) | ||
3) | 4) | 4) | 2) | 2) | 2) | 4) | ||
4) | 3) | 2) | 4) | 3) | 2) | 2) | ||
2) | 4) | 3) | 1) | 3) | 2) | 2) | ||
1) | 2) | 1) | 4) | 2) | 3) | 4) | ||
Название: Геометрия. 10-11 класс. Тесты
Пособие содержит тесты по основным темам курса геометрии 10-11 классов в двух вариантах - 8 тестов для 10 класса и 9 тестов для 11 класса.
Предлагаемые тесты учитель может использовать для контроля знаний учащихся перед проведением контрольной работы или в качестве контрольной. Учащиеся могут использовать тесты при самоподготовке к выпускным экзаменам, а также к вступительным экзаменам в ВУЗы.
В данной книге представлены проверочные тесты по геометрии для 10-11 классов. Она является продолжением аналогичной книги по геометрии для 7-9 классов. Тесты даются в двух вариантах - 8 тестов для 10 класса и 9 тестов для 11 класса.
Тесты целесообразно проводить один раз в месяц в качестве проверочных работ перед контрольными или заменяя их. Учитывая сложность отдельных заданий, на проведение полного теста должно отводиться два урока. Однако учитель может разбить тест на 2 части (по 4 задания в каждой) и провести его на двух разных уроках в разные дни. В этом случае учитель должен учитывать то обстоятельство, что задания расположены не по степени возрастания сложности (т. е., например, задание 3 может быть сложнее, чем задание 5), сделано это умышленно, чтобы учащиеся решали не только легкие задачи, но и пытались решать более сложные. Но учитель, просмотрев задания отдельного теста, может сам варьировать число и сложность заданий.
Учитывая своеобразие проведения проверочных тестов, когда приводимые ответы в какой-то степени облегчают решение задачи, учитель может на последующем уроке провести анализ работ, расставляя акценты на теоретических обоснованиях решения задач, проводя необходимые доказательства с целью выявления логической обоснованности выбора учеником ответа.
Последовательность материала дана в соответствии с учебником по геометрии для 7-11 классов А. В. Погорелова. Однако учителя, работающие по другим учебным пособиям, сделав необходимые корректировки, также могут использовать их в своей работе.
Содержание
Предисловие
10 класс
Тест 1. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом
Тест 2. Параллельность в пространстве
Тест 3. Перпендикулярность в пространстве
Тест 4. Параллельность и перпендикулярность в пространстве
Тест 5. Координаты в пространстве
Тест 6. Углы между прямыми и плоскостями
Тест 7. Векторы
Тест 8. Итоговый
11 класс
Тест 1. Двугранные и линейные углы. Многогранные углы
Тест 2. Параллелепипед и призма
Тест 3. Пирамида. Усеченная пирамида
Тест 4. Цилиндр. Конус. Шар
Тест 5. Объемы многогранников
Тест 6. Объемы тел вращения
Тест 7. Комбинации фигур
Тест 8. Итоговый - 1
Тест 9. Итоговый - 2
Ответы
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Геометрия. 10-11 класс. Тесты. Алтынов П.И. 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.